เเคลคูลัส


แคลคูลัส เป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่มีพี้นฐานมาจากการศึกษาการเปลี่ยนแปลงและการเคลื่อนที่ทางกลศาสตร์ การสร้างรากฐานวิชาให้รัดกุมจำเป็นต้องอาศัยความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน การพัฒนาความรู้จึงต้องละบริบททางวิทยาศาสตร์ที่ไม่จำเป็นออกไป เพื่อให้ได้ระบบภาษาสัญลักษณ์ที่มีความกระชับ ชัดเจน และสามารถขยายความรู้ต่อยอดออกไปเรื่อย ๆ ด้วยเหตุผลนี้ส่วนหนึ่งทำให้แคลคูลัสพัฒนาแยกตัวออกมาจากวิทยาศาสตร์และเข้าใกล้คณิตศาสตร์บริสุทธิ์มากขึ้น การพัฒนาแคลคูลัสในแง่มุมว่าเป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่ง เริ่มเห็นชัดในคริสต์ศตวรรษที่ 17 จากผลงานของนิวตัน (Isaac Newton, 1643 – 1727, England) และไลบ์นิต (Gottfried Wilhelm van Leibniz, 1646 – 1716, Germany) แคลคูลัสเริ่มพัฒนาตัวเองไปสู่คณิตศาสตร์วิเคราะห์ที่ให้ระบบการให้เหตุผลที่มีความรัดกุมมากกว่าเดิม เมื่อ โคชี (Augustin Louis Cauchy, 1789 – 1857, France) ได้เสนอให้ใช้แนวคิดของลิมิตของฟังก์ชันเพื่อเป็นรากฐานความรู้ของแคลคูลัส เกิดการแสวงหาความรู้ต่อยอดต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และสะท้อนกลับนำไปใช้ประโยชน์ในการแสวงหาความรู้ทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ และแน่นอนว่ามนุษย์ยังแสวงหาวิทยการเพื่อสร้างเทคโนโลยีตอบสนองความต้องการของตัวเองตลอดเวลา นั่นหมายถึงจะมีหลายปัญหาที่ยังไม่แก้ไม่ได้ด้วยความรู้ที่มีในปัจจุบัน การแสวงหาความรู้ใหม่ ๆ จะย้อนกลับไปผลักดันให้แต่ละวิชาไม่หยุดที่จะพัฒนาความรู้ของตัวเอง แคลคูลัสก็เป็นหนึ่งแขนงวิชา ดังนั้นการทราบที่มาของการพัฒนาและความรู้พื้นฐานสุดของแคลคูลัส จะทำให้เห็นแนวทางในการพัฒนาความรู้ต่อไป

 

สามบุคคลที่มีส่วนสำคัญในการพัฒนาแนวคิดของแคลคูลัสยุคใหม่ [รูปจาก wikipedia.org]
สามบุคคลที่มีส่วนสำคัญในการพัฒนาแนวคิดของแคลคูลัสยุคใหม่ [รูปจาก wikipedia.org]
download image

 

ยุคโบราณ

มนุษย์รู้จักค้นคว้าความรู้และบันทึกไว้เพื่อการถ่ายทอดส่งต่อความรู้ตั้งแต่ยุคหิน แต่ความรู้ที่ถือได้ว่าอยู่ในขอบข่ายและเป็นรากฐานเริ่มต้นของแคลคูลัส คือ ความรู้เกี่ยวกับการแก้ปัญหาการวัด หลักฐานที่ค้นพบมีอายุก่อนคริสต์ศักราช เช่น บันทึกบนกระดาษปาปีรัส (Papyrus) ของชาวอียิปต์โบราณ บันทึกบนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลน แต่ก็ยังไม่ทราบแน่ชัดว่าคนสมัยนั้นได้ความรู้เหล่านี้มาได้อย่างไร ไม่พบหลักฐานว่ามีการให้เหตุผลทางตรรกวิทยาเพื่อรองรับความรู้ที่ได้มาดังกล่าว การแก้ปัญหาบางอย่างไม่อาจระบุได้ว่าผลที่ได้เป็นค่าประมาณหรือค่าจริง อย่างเช่น ในบันทึกของอาเมส (Ahmose, ~1680 - 1620BC, Egypt) ชี้ว่า ชาวอียิปต์โบราณมีความรู้ว่าปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็น 1/3 เท่าของปริมาตรของปริซึมที่มีฐานเดียวกันและสูงเท่ากัน (ซึ่งในปัจจุบันพบว่าความรู้นี้ถูกต้อง แต่การได้มาซึ่งความรู้นี้ ต้องอาศัยระบบคณิตศาสตร์ที่พัฒนาหลายพันปีต่อมาเพื่อแสดงเหตุผลที่มาของผลลัพธ์)

สมัยกรีกโบราณ เป็นยุครุ่งเรืองของการใช้ตรรกวิทยาในการแสวงหาความรู้ มีบันทึกถึงความรู้ของนักปรัชญาชาวกรีกหลายชิ้น แต่ที่อาจนับได้ว่าเป็นจุดเริ่มต้นของแคลคูลัสในยุคนี้ ได้แก่ The Method of Exhaustion (แม่แบบความรู้เกี่ยวกับปริพันธ์ในแคลคูลัสที่เราทราบในปัจจุบัน) ผู้ที่ถือว่าได้เสนอแนวคิดเกี่ยวกับระเบียบวิธีนี้ คนแรก ๆ คือ 

แอนติฟอน (Antiphon the Sophist, ~480 - 411BC, Greece) โดยใจความสำคัญที่ระเบียบวนี้ให้ไว้คือ จะมีกระบวนการที่ทำให้เราเข้าถึงค่าจริงของคำตอบโดยเริ่มจากค่าประมาณค่าหนึ่งได้อย่างไม่จำกัด เช่น ในการหาพื้นที่ของรูปวงกลม ระเบียบวิธีนี้ให้กระบวนการเข้าถึงค่าจริงของพื้นที่ของรูปวงกลมนี้ไว้ประมาณว่า เริ่มจากสร้างรูปหลายเหลี่ยมแนบในวงกลม โดยสังเกตได้ว่า หากจำนวนเหลี่ยมมากขึ้น ผลต่างของพื้นที่ของรูปทั้งสองจะหมดไป แต่ก็มีข้อแย้งในเชิงปฏิบัติว่าเราจะสามารถสร้างรูปหลายเหลี่ยมให้มีจำนวนเหลี่ยมได้มากมายแค่ไหนกัน (อุปมาในปัจจุบันก็ประมาณว่า เรายังไม่สามารถหาค่าจริงของจำนวนอตรรกยะ π ได้ด้วยคอมพิวเตอร์ที่มีอยู่)

คนกรีกโบราณเป็นผู้ที่ยึดมั่นกับความรู้และการให้เหตุผลทางตรรกะที่ต้องรัดกุมเข้มงวด  ข้อแย้งหนึ่งที่เกิดขึ้ดต่อ The Method of Exhaustion เช่น รูปหลายเหลี่ยมก็คือรูปหลายเหลี่ยม รูปวงกลมก็คือรูปวงกลม กระบวนการที่จะทำให้รูปหลายเหลี่ยนปรับเปลี่ยนไปเป็นรูปวงกลม มันสมเหตุสมผลหรือไม่ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า มีผู้ที่ปฏิเสธการแบ่งขนาด ไม่ว่าจะเป็น ความยาว พื้นที่ ปริมาตร หรือเวลา อย่างไม่จำกัด ตัวอย่างของข้อปฏิเสธนี้ เช่น จากผลงานของ ซีโนแห่งอีเลีย (Zeno of Elea, ~490 – 430BC, Italy) ผู้ที่ได้เสนอข้อความที่ขัดแย้งกับสามัญสำนึกทั่วไป หรือคำศัพท์ภาษาไทยเราเรียกว่า ปฏิทรรศ์ ซึ่งปฏิทรรศ์ของซีโน (Zeno’s paradoxes) ข้อหนึ่งที่จี้จุดบกพร่องทางตรรกะ หากเราสามารถแบ่งขนาดได้อย่างไม่จำกัด มีใจความในทำนองที่ว่า 

“หากพิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุจากจุด A ไปจุด B ก่อนที่จะถึงจุด B วัตถุนั้นจะต้องเคลื่อนที่ผ่านจุดกึ่งกลางระหว่างจุดทั้งสอง เรียกจุดกึ่งกลางนั้นว่า M1 ในทำนองเดียวกัน ก่อนที่จะถึงจุด M1 วัตถุจะต้องเคลื่อนที่ผ่านจุดซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด A และจุด M1 เรียกจุดกึ่งกลางที่สองนี้ว่า M2 พิจารณาเช่นนี้เรื่อยไป จะเห็นว่าวัตถุจะต้องเดินทางผ่านจุด M3, M4, M5, ... เป็นจำนวนมากมายเป็นอนันต์ หรือสามารถกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าเป็นไปไม่ได้เลยที่มีการเคลื่อน จึงเกิดข้อขัดแย้งทางสามัญสำนึกหรือข้อปฏิทรรศ์”

ปฏิทรรศ์ของซีโนได้นำไปสู่แนวคิดของสิ่งที่เรียกว่า ขนาดที่แบ่งย่อยไม่ได้อีก (infinitesimals) ซึ่งต่อมา ลูซิปปัส (Leucippus, ~480 - 420BC, Turkey) และเดโมคริตัส (Democritus, ~460 - 370BC, Greece) ได้ขยายแนวคิดนี้เพื่อเสนอแนวคิดที่ว่า 

ขนาดจะประกอบไปด้วย อนุภาคมูลฐานที่แบ่งย่อยไม่ได้ (indivisible elements หรือ atom) จำนวนจำกัดจำนวนหนึ่ง 

อาริสโตเติล (Aristotle, ~384 – 322BC, Greece) ได้ใช้หลักการเดียวกันนี้ไปเขียนถึง เส้นที่แบ่งย่อยไม่ได้อีก (indivisible line) แต่แนวคิดของ ขนาดที่แบ่งไม่ได้ นี้ก็ไม่มีความรัดกุมพอที่จะนำไปใช้ในการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ เพื่อหลีกเลี่ยงข้อขัดแย้งทางตรรกะและการใช้แนวคิดของขนาดที่แบ่งย่อยไม่ได้อีกโดยตรง ยูโดซุส (Eudoxus of Cnidus, ~390 - 340BC, Turkey]) จึงได้ปรับปรุงการให้เหตุผลเกี่ยวกับ The Method of Exhaustion ให้มีความรัดกุมมากขึ้น โดยอาศัยความรู้ทางเรขาคณิตช่วยในพิจารณาขนาดที่แบ่งไม่ได้อีกในทางอ้อม โดยพิจารณาผ่านอัตราส่วนของขนาดที่วัดได้ทางเรขาคณิต ซึ่งต่อมาภายหลังความรู้เหล่านี้ได้ปรากฎในผลงานของ ยุคลิด (Euclid of Alexandria, ~365 – 275BC, Egypt

ส่วนผู้ที่ใช้ความรู้จากระเบียบวิธีนี้จนได้ผลงานที่ถือได้ว่ามีแนวคิดใกล้เคียงกับแนวคิดของการหาปริพันธ์ในแคลคูลัสที่ทราบกันแล้วในปัจจุบันคือ อาร์คิมีดีส (Archimedes, ~287 – 212BC, Italy) ตัวอย่างผลงานที่เด่นซึ่งทำให้แนวคิดของกระบวนการเข้าถึงค่าจริงอย่างไม่จำกัดชัดเจนยิ่งขึ้น ได้แก่ วิธีการหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยพาราโบลาตัดกับเส้นตรง หรือเรียกว่า เซกเมนต์ของพาราโบลา (The quadrature of parabola) เพื่อให้เห็นแนวคิดจากระเบียบวิธีที่อาร์คิมีดีสได้ปรุงปรับ ขอยกตัวอย่างที่เรียบเรียงจากวิกิพีเดีย ดังนี้

กระบวนการในระเบียบวิธีนี้เริ่มต้นโดยสร้างรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งให้แนบในเซกเมนต์ของพาราโบลา นั่นคือต้องให้ด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมอยู่บนส่วนของเส้นตรงที่ปิดล้อม อีกสองด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมจะแบ่งพื้นที่ของเซกเมนต์เริ่มต้นออกเป็นเซกเมนต์ย่อยสองเซกเมนต์ ซึ่งพื้นที่ของเซกเมนต์ย่อยทั้งสองเมื่อรวมกับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะเท่าพื้นที่ของเซกเมนต์เริ่มต้น ทำการสร้างรูปสามเหลี่ยมแนบในเซกเมนต์ย่อยทั้งสองโดยมีเงื่อนไขเดียวกับการสร้างรูปสามเหลี่ยมรูปแนบในรูปแรก นั่นคือให้ด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมอยู่บนส่วนของเส้นตรงที่ปิดล้อมเป็นเซกเมนต์ ดำเนินกระบวนการนี้ไปเรื่อย ๆ แล้วจะได้ว่าพื้นที่ของเซกเมนต์ของพาราโบลาหาได้จากผลบวกของพื้นที่ของแต่ละรูปสามเหลี่ยม แล้วถ้าสามารถดำเนินกระบวนการนี้ได้อย่างไม่จำกัด จะได้ค่าที่แท้จริงของพื้นที่ของเซกเมนต์ของพาราโบลา (ดูรูปด้านล่างประกอบ)

 

การแบ่งย่อยเซกเมนต์ของพาราโบลาออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้เป็นจำนวนอนันต์ตามแนวคิดของอาร์คิมีดีส [wikipedia.org]
การแบ่งย่อยเซกเมนต์ของพาราโบลาออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้เป็นจำนวนอนันต์ตามแนวคิดของอาร์คิมีดีส [wikipedia.org]
download image

จากกระบวนการสร้างข้างต้น ทำให้ทราบว่าพื้นที่ของเซกเมนต์ของพาราโบลาจะเป็น 4/3 เท่าของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมรูปแรกที่สร้างให้แนบในเซกเมนต์ของพาราโบลานั้น (ซึ่งต่อมาทราบว่าเป็นผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ที่มีอัตราส่วนร่วมเป็น 1/4) อาร์คิมีดีส ยังได้พัฒนาต่อยอดระเบียบวิธีเพื่อใช้หาพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงเรขาคณิตแบบต่าง ๆ จนได้ระเบียบวิธีที่ต่อมาเรียกว่า The method of Archimedes หรือ Method of equilibrium โดยมีแนวคิดของแบ่งย่อยทรงเหล่านั้นออกเป็นแผ่นบาง ๆ ตามแนวศูนย์ถ่วง แล้วหาผลบวกของขนาดของแผ่นบาง ๆ เหล่านั้น ถึงแม้จะไม่มีคณิตศาสตร์ที่รัดกุมรองรับ แต่ถือว่าเป็นภาพแสดงแนวคิดคราว ๆ ของการหาปริพันธ์ในแคลคูลัสที่ทราบในปัจจุบัน

 

ยุคกลาง

ในยุคกลาง การพัฒนาแคลคูลัสไม่มีการก้าวกระโดดมากนัก แนวคิดและวิธีการส่วนใหญ่ยังอิงอยู่กับการวัด การเขียนกราฟ และการแบ่งระนาบออกเป็นหน่วยเล็กๆ ที่ไม่สามารถแบ่งได้อีก ต่อเนื่องมาจนถึงคริสต์ศตวรรษที่ 16 เมื่อวิศวกรรมศาสตร์เครื่องกลมีความต้องการที่จะใช้คณิตศาสตร์ที่รัดกุมในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วง ผลงานที่เกี่ยวข้องกับการพัฒนาแนวคิดของแคลคูลัสลำดับได้ดังนี้

วาเลริโอ (Luca Valerio, 1553-1618, Italy) ได้ตีพิมพ์ผลงานที่ได้รับแรงบันดาลใจมาจาก The method of Archimedes ภาพแสดงแนวคิดของปริพันธ์ในแคลคูลัสเริ่มชัดขึ้น

เคปเลอร์ (Johannes Kepler, 1571 - 1630, Germany)ได้พัฒนาวิธีการหาพื้นที่ของเซกเตอร์ของวงรีโดยพิจารณาว่าพื้นที่เป็นผลรวมของเส้น

คาวาลีเอรี (Bonaventura Francesco Cavalieri, 1598 - 1647, Italy) ได้ขยายแนวคิดให้ชัดเป็นระเบียบวิธีที่เรียกว่า Method of indivisible โดยมองว่า 

เส้นตรงประกอบด้วยจุดเป็นจำนวนอนันต์ พื้นที่ผิวประกอบด้วยเส้นจำนวนอนันต์ และปริมาตรประกอบด้วยพื้นที่ผิวจำนวนอนันต์ 

ทำให้ได้เทคนิคการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยการแบ่งย่อยพื้นที่ออกเป็นส่วนประกอบเล็กๆ เกือบเป็นเส้น แล้วหาผลรวมของเส้นเหล่านี้ ซึ่งแนวคิดนี้คล้ายกับที่ชาวกรีกโบราณได้เสนอไว้ แต่วิธีคิดแบบใหม่นี้มีการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่รัดกุมกว่ารับรอง ซึ่งจากการพิจารณาปัญหาข้างต้น สามารถแปลงไปเป็นปัญหาของการหาค่าของนิพจน์ 

 
0+1+2+3++n n(n+1)       

 ซึ่งเมื่อให้จำนวนเต็มบวก n มีค่ามากขึ้น นิพจน์ดังกล่าวจะมีค่าเข้าใกล้ 1/2  และปัญหาในทำนองเดียวกันในสามมิติ ระเบียบวิธีดังกล่าวให้เทคนิคการหาปริมาตรของกรวย และสามารถแปลงปัญหามาเป็นการพิจาณาหาค่าของนิพจน์

 
0 2 +1 2 +2 2 +3 2 ++n 2  n 2 (n+1)       

ซึ่งเมื่อให้จำนวนเต็มบวก n มีค่ามากขึ้น นิพจน์ดังกล่าวจะมีค่าเข้าใกล้ 1/3  หมายเหตุ ลองใช้ Answer Engine หาลิมิตลำดับนี้ดู lim of (1^2+2^2+3^2+...+n^2)/(n^2(n+1))

 

โรแบร์วาล์ (Gilles Personne de Roberval, 1602 - 1675, France) ได้พิจารณาปัญหาทำนองเดียวกับ คาวาลีเอรี จนได้ปัญหาของการหาค่าของนิพจน์ 

 
0 m +1 m +2 m +3 m ++(n1) m  n m+1        

และพบว่านิพจน์นี้มีค่าเข้าใกล้ 

 
1 m+1       

เมื่อให้จำนวนเต็มบวก n มีค่ามากขึ้น สำหรับจำนวนเต็มบวก m ใด ๆ

 

แฟร์มา (Pierre de Fermat, 1601 - 1665, France) ได้ข้อสรุปเช่นเดียวกับ โรแบร์วาล์ และนอกจากนี้ยังสามารถขยายบทพิสูจน์เพื่อแสดงว่า m สามารถเป็นได้ทั้งจำนวนเต็มลบหรือเศษส่วน จะเห็นว่าการพิจารณาให้จำนวนเต็มบวก n มีค่ามากขึ้นได้และทำได้อย่างไม่จำกัด เป็นตัวอย่างการอ้างอิงความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่รัดกุมและเข้มงวดกว่า ในการยืนยันแนวคิดของกระบวนการ การเข้าถึงค่าแท้จริงของผลเฉลยอย่างไม่จำกัด (ซึ่งชาวกรีกโบราณได้เสนอแนวคิดไว้แล้วนั้น) ผลงานของแฟร์มาที่ถือว่ามีบทบาทสำคัญต่อการพัฒนาแนวคิดของแคลคูลัสแบบก้าวกระโดด ซึ่ง ลากรองช์ (Joseph Louis Lagrange, 1736 - 1813, France) ถึงกับยกย่องให้แฟร์มาว่าเป็นผู้คิดค้นแคลคูลัสแนวใหม่  ได้แก่ 

การแก้ปัญหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดโดยอาศัยความรู้ทางเรขาคณิต (ในปัจจุบันทราบกันว่าเป็น แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์) ซึ่งให้หลักการแปลงปัญหาไปเป็นการแก้ปัญหาเกี่ยวกับ การหาจุดบนเส้นโค้งที่ทำให้เส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้นขนานกับแกนนอน

ความรู้เกี่ยวกับ เส้นสัมผัสเส้นโค้ง (tangent line) ปรากฏนานแล้ว ดังจะเห็นได้จากผลงานของ แปปปัส (Pappus of Alexandria, ~290 - 350AD, Greece) และในยุคกลางนี้ จากผลงานของ โอเรสเม (Nicolas Oresme, ~1323 - 1382, France) ทำให้ทราบว่า ค่าต่ำสุดหรือสูงสุงของเส้นโค้งจะอยู่บริเวณที่มีการเปลี่ยนแปลงค่าของตัวแปรช้าที่สุด จากจุดนี้ถือได้การพัฒนาแคลคูลัสเริ่มอยู่บนรากฐานแขนงของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า เรขาคณิตวิเคราะห์ โดยความรู้ทางคณิตศาสตร์ของความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง สามารถนำมาอธิบายได้อย่างรัดกุมถึงแนวคิดของ อัตราส่วนของสองขนาดที่ไม่สามารถแบ่งแยกได้อีก ซึ่งปรากฏอยู่ในระเบียบวิธีที่แรกเริ่มที่เสนอโดยชาวกรีกโบราณ

จากหลักฐานการติดต่อแลกเปลี่ยนความรู้กับ เดการ์ต (René Descartes, 1596 - 1650, France) ทำให้ทราบว่า แฟร์มา ได้เสนอ 

หลักการของการแก้ปัญหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดว่าเป็นการแก้สมการเพื่อหาจุดที่ทำให้ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเป็นศูนย์ (อย่างที่ทราบแล้วในปัจจุบัน)

เริ่มมีผลงานที่เกี่ยวกับการพัฒนาแคลคูลัสต่อจากแฟร์มามากขึ้น ซึ่งผลงานหลายชิ้นได้มีส่วนในการพัฒนาแคลูลัสแบบคู่ขนานของนิวตันและไลบ์นิตซ์ (ทั้งสองที่ได้ชื่อร่วมกันว่าเป็นผู้ประดิษฐ์ แคลคูลัส ถึงแม้จะพัฒนาความรู้ทางแคลคูลัสอย่างอิสระต่อกัน แต่มีหลักฐานเชื่อมโยงบุคคลทั้งสองในทางอ้อม ซึ่งเป็นจดหมายโต้ตอบความรู้ระหว่างเพื่อนร่วมงานของบุคคลทั้งสอง โดยพบว่าเพื่อนร่วมงานของทั้งสองหลายคนเป็นนักคณิตศาสตร์คนเดียวกัน บุคคลเหล่านั้น เช่น

บัวเนอร์ (Florimond de Beaune, 1601-1652, France)  ผู้ขยายระเบียบวิธีทางเรขาคณิตวิเคราะห์ของเดการ์ต เพื่อพิจารณาปัญหาเกี่ยวกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งผ่านทางปัญหาของการหารากซ้ำของสมการพหุนาม

ฮูดเด (Johann van Waveren Hudde, 1628 - 1704, the Netherlands) ได้ปรับปรุงวิธีการที่บัวเนอร์ใช้ ให้ง่ายลง จนได้เป็น กฎของฮูดเด (Hudde’s rule) โดยกฎนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างรากซ้ำและสิ่งที่ต่อมาเรียกว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันพหุนาม

ทั้งระเบียบวิธีทางเรขาคณิตวิเคราะของเดการ์ตที่บัวเนอร์ใช้และกฎของฮูดเดได้มีส่วนสำคัญในการพัฒนาผลงานทางแคลคูลัสของนิวตัน

ไฮย์เคนส์ (Chistiaan Huygens, 1629 – 1695, Netherlands) มีผลงานที่เป็นแรงจูงใจให้ไลบ์นิตซ์พัฒนาแนวทางการเข้าถึงแนวคิดของแคลคูลัสได้ง่ายขึ้น

แบร์โรว์ (Isaac Barrow, 1630 – 1677, England) เป็นอีกบุคคลหนึ่งที่มีอิทธิพลต่อการพัฒนาผลงานของนักคณิตศาสตร์รุ่นถัดมาโดยเฉพาะไลบ์นิตซ์  แบร์โรว์เสนอระเบียบวิธีการพิจารณาเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ว่าเป็น ลิมิตของลำดับของเส้นตัดเส้นโค้ง (secant lines) ตามที่ทราบกันแล้วในปัจจุบัน ซึ่งพอสังเขปแนวคิดนี้ได้ว่า

ถ้าเริ่มจากเส้นตัดเส้นโค้งเส้นหนึ่ง จะได้สองคู่อันดับของจุดตัดเหล่านั้นในระบบพิกัดฉาก  ให้สร้างเส้นตัดเส้นโค้งเส้นใหม่ซึ่งมีคู่อันดับของจุดตัดเส้นโค้งทั้งสอง โดยที่ค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของพิกัดที่หนึ่งที่มีค่าน้อยกว่าเดิม ดำเนินกระบวนการสร้างนี้ไปเรื่อย ๆ โดยให้ค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของพิกัดที่หนึ่งมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ ในทางเรขาคณิตอาจถือได้ว่า กระบวนการสร้างนี้ให้ลำดับของเส้นตัดเส้นโค้งที่มีลักษณะใกล้เคียงกับเส้นสัมผ้สเส้นโค้งมากขึ้น (หากอาศัยแนวคิดของลิมิตที่ทราบแล้วในปัจจุบัน สามารถกล่าวได้ว่าเส้นลิมิตของเส้นตัดเส้นโค้งคือเส้นสัมผัสเส้นโค้ง )

มีความเป็นไปได้ว่าทั้งนิวตันและไลบ์นิตซ์ได้ศึกษาผลงานนี้และได้รับคำแนะนำจากแบร์โรว์ให้พัฒนาผลงานของตน 

บทพิสูจน์แสดงภาพแนวคิดของกระบวนการข้างบนหลายอัน มีรูปสามเหลี่ยมคล้ายๆ กับรูปด้านล่าง ซึ่งต่อมาเรียกชื่อว่าBarrow’s differential triangle  

Barrow’s differential triangle, History Of Mathematics Vol II (1925), p.690
Barrow’s differential triangle, History Of Mathematics Vol II (1925), p.690
download image

ผลงานชิ้นหนึ่งของ ปาสกาล(Blaise Pascal, 1623 – 1662, France) ก็มีรูปสามเหลี่ยมลักษณะเดียวกันที่เป็นแนวทางให้ไลบ์นิตซ์พัฒนาทฤษฎีบทของตัวเอง

ทั้งแบรโรว์และตรูริเชลลิ (Evangelista Torricelli, 1608 – 1647, Italy) ศึกษาปัญหาของการเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วที่แปรผัน พบว่าการดำเนินการที่ต่อมาเรียกว่าอนุพันธ์ของระยะทางนี้ จะได้ความเร็ว และถ้าดำเนินการผกผันกระบวนการดังกล่าวจากความเร็วจะได้ระยะทาง แบร์โรว์รับรู้ถึงสองกระบวนการที่ผกผันซึ่งกันและกันซึ่ง (ต่อมาทราบกันว่าคือ อนุพันธ์และปริพันธ์ในแคลคูลัส) แต่ก็ไม่ได้ประโยชน์จากความรู้นี้มากนัก แต่ก็มีอิทธิพลให้นิวตันเสนอทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสในเวลาต่อมา ในอีกทางหนึ่งผลงานเดียวกันของแบร์โรว์ บทพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับ Barrow’s differential triangle ได้ให้แนวคิดแก่ไลบ์นิตซ์ในการประดิษฐ์สัญลักษณ์  

 
d y  d x       

เพื่อแทนสิ่งที่สืบทอดมาจากชาวกรีกโบราณ นั่นคือ ขนาดที่แบ่งย่อยไม่ได้อีก และได้ให้กฎการดำเนินการเกี่ยวกับสัญลักษณ์เหล่านี้ ทำให้การศึกษาแนวคิดของแคลคูลัสทำได้ง่ายและสามารถต่อยอดออกไปอย่างที่เราได้ใช้อยู่ในปัจจุบัน

 

ยุคใหม่

นิวตัน ที่ได้ชื่อว่าเป็นผู้ก่อกำเนิดแคลคูลัสเพราะว่ามีผลงานที่สำคัญมากมายต่อการพัฒนารากฐานของแคลคูลัสดังจะเห็นได้จากผลงานที่รวบรวมไว้ในหนังสือชื่อชุด Principia  ตัวอย่างผลงานที่ได้กล่าวมาแล้วเช่น การเสนอทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส เพื่อแสดงกระบวนการที่ผกผันกันของอนุพันธ์และปริพันธ์ตามที่แบร์โรว์ได้สังเกตเห็น โดยนิวตันได้ใช้ประโยชน์จากวิธีการนี้ในการแก้ปัญหาทางอนุพันธ์ (ซึ่งตอนนั้นเรียกว่า Method of tangents) และนำไปแก้ปัญหาทางปริพันธ์ (ซึ่งตอนนั้นเรียกว่า Method of quadrature)  

ในผลงาน Method of Fluxions ที่นิวตันได้ศึกษาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ มีการใช้แนวคิดของ ขนาดที่แบ่งย่อยไม่ได้อีก เช่นกัน ซึ่งนิวตันใช้สัญลักษณ์ 

 
x ˙     

แทน fluxion ของ x และ 

 
x ¨     

(ความเร่ง) แทน fluxion ของ fluxion  ของ (เทียบได้กับอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอนุพันธ์อันดับสองที่ทราบในปัจจุบัน) แต่ระบบการดำเนินการเกี่ยวกับสัญลักษณ์ที่นิวตัวใช้มีความคลุมเครือเข้าใจยากกว่าของระบบสัญลักษณ์ที่ไลบ์นิตซ์เสนอ  

ในผลงาน Tractatus de Quadratura Curvarum นิวตันได้ให้ระเบียบวิธีคิดเกี่ยวกับลิมิตเป็นศูนย์และการใช้อนุกรมกำลังแทนฟังก์ชันที่ทราบกันในปัจจุบัน

 

ไลบ์นิตซ์ นอกจากจะประดิษฐ์ระบบสัญลักษณ์ที่ใช้ง่ายกว่าสำหรับศึกษาแนวคิดของอนุพันธ์ (ตามแนวคิดที่ได้จากบทพิสูจน์ของแบร์โรว์ที่กล่าวแล้วข้างต้น) ยังประดิษฐ์ระบบสัญลักษณ์ที่ใช้แทนแนวคิดของปริพันธ์ โดยใช้

 
   

เป็นสัญลักษณ์แทนการบวกของ ขนาดที่แบ่งย่อยไม่ได้อีก  ดังที่ได้ระบุในระเบียบวิธีที่ คาวาลีเอรี เสนอ

ในผลงานชิ้นหนึ่ง ไลบ์นิตซ์ได้เขียนสมการ (ที่คุ้นเคยในปัจจุบัน) ได้แก่ 

ydy=12y2

เป็นจุดเริ่มต้นของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ซึ่งสมัยนั้นไลบ์นิตซ์ใช้ชื่อว่า calculus summatorius หรือ calculus integralis 

ในเวลาต่อมา ระบบสัญลักษณ์ของอนุพันธ์และปริพันธ์ที่เสนอโดยไลบ์นิตซ์ได้รับความนิยมและใช้กัรอย่างแพร่หลาย ตามที่เห็นจนถึงปัจจุบัน

 

การพัฒนาแคลคูลัสในคริสต์ศักราชที่ 19 ยังอิงรากฐานทางคณิตศาสตร์จากผลงานที่สำคัญของนิวตันและไลบ์นิตซ์ มีทั้งที่อยู่บนความรู้

แบบสถิต (static phase) เช่น จากความรู้ในเรื่องการวัด แต่ยังมีการพัฒนาแคลคูลัสโดยอาศัยคณิตศาสตร์ของ infinitesimals ซึ่งตกทอดมาจากชาวกรีกโบราณ และสิ่งที่ปรับปรุงให้รัดกุมกว่าของคาวาลีเอรี ที่ชื่อ indivisible 

และอีกรากฐานบนความรู้แบบพลวัต (dynamic phase) เช่น การเคลื่อนที่ของจุดในปัญหาของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง 

แต่ก็มีผู้ชี้ให้เห็นถึงจุดอ่อนของการให้เหตุผลทางตรรกในผลงานของนิวตันและไลบ์นิตซ์ เช่น เบอร์คเลย (George Berkeley, 1685 – 1753, England) จากผลงาน Analyst 

จากจุดนี้ทำให้แคลคูลัสต้องแสวงหารากฐานความรู้ที่รัดกุมกว่าเพื่อมารองรับแนวคิด ถือได้ว่าเป็นช่วงที่รากฐานของแคลคูลัสได้ขยับมาอยู่บนแขนงคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า คณิตศาสตร์วิเคราะห์  

ผู้ที่มีบทบาทสำคัญในการเสนอความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่จะเป็นรากฐานที่รัดกุมเข้มงวดกว่าให้กับแคลคูลัสคือ โคชี นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศษนั่นเอง และความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นรากฐานดังกล่าวคือ แนวคิดของลิมิตของฟังก์ชัน ซึ่งภายหลังได้มีบทนิยามของลิมิตของฟังก์ชันที่มีความรัดกุมยิ่งขึ้นอีก อย่างเช่น การเสนอให้เข้าถึงแนวคิดของลิมิตโดยใช้แนวคิดของ 

{ϵ,δ}

ซึ่งเสนอโดย ไวแยร์สตราสต์ (Karl Weierstrass, 1815 – 1897, Germany) 

และเชื่อว่ายังความจำเป็นพัฒนาแนวคิดของแคลคูลัสให้อยู่บนรากฐานแนวคิดของคณิตศาสตร์ที่สามารถให้เหตุผลได้รัดกุม เข้มงวด และขยายให้ครอบคลุมปัญหาต่างๆ ที่จะเกิดขึ้นจากความจำเป็นต้องพัฒนาความรู้ด้านวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ขั้นสูง เพื่อตอบสนองการแสวงหาความรู้ใหม่ของมนุนย์ ที่ไม่มีที่สิ้นสุด

เว็บอ้างอิง http://www.oercommons.org/authoring/3965-%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%9B-%E0%B8%99%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84-%E0%B8%A5-%E0%B8%AA-a-brief-history-of-calculus/view

รูปภาพที่เกี่ยวข้อง

ติชม


ต้องการให้คะแนนบทความนี้่ ?

สร้างโดย :


blackzero98

สถานะ : ผู้ใช้ทั่วไป
ไม่ระบุ