แคลคูลัส

Example  วาดกราฟ 
  • พิจารณาลักษณะสมมาตร
    1. สมมาตรกับแกน x
    2. สมมาตรกับแกน y
    3. สมมาตรกับจุดกำเนิด
  • สมมาตรกับแกน x : แทนค่า x เท่ากับ -x ในสมการแล้ว สมการคงเดิม
     สมการเหมือนเดิมเดะ
  • สมมาตรกับแกน y : แทนค่า y เท่ากับ -y ในสมการแล้ว สมการคงเดิม
     สมการไม่เหมือนเดิมแล้วแหละ
  • สมมาตรกับจุดกำเนิด : แทนค่า x เท่ากับ -x และ y เท่ากับ -y แล้วสมการคงเดิม
     สมการไม่เหมือนเดิม
สมการนี้สมมาตรกับแกน x เท่านั้น
  • หาจุดตัดแกน x (x-intercepts) โดยให้แทนค่า y=0



  • หาจุดตัดแกน y (y-intercepts) โดยให้แทนค่า x=0

  • หาเส้นกำกับแนวราบ (Horizontal Asymptote)
  •  เส้นกำกับแนวราบคือ y=L 
    (ใ้ห้ take limit เข้าใกล้ infinity ทั้งทางบวก, ลบ โดยค่า L จะเป็นเส้นกำกับแนวราบ)
  • Take limit infinity ทางบวก
  • Take limit infinity ทางลบ
เส้นกำกับแนวราบคือ y=2
  • หาเส้นกำกับแนวดิ่ง (Vertical Asymptote)
  • คือหาค่า x ที่ทำให้ส่วนเป็น 0 (จับส่วนเท่าักับ 0 อะง่ายๆ)


  • หา First Derivative ก่อน
  • ต่อไปก็หา Second Derivative
  • เอาข้างบนมา ดิฟ ต่อเท่านั้นแหละ (ใช้ดิฟผลหารนะ)
  • หมายเหตุ โจทย์เรื่องวาดกราฟนี่ ผมจะไม่เน้นการอธิบายเรื่อง การดิฟ อย่างละเอียดนะครับ โดยจะละไว้ในฐานที่เข้าใจว่า มีทักษะ เรื่อง derivative มาในระดับนึงแล้ว
  • พักก่อนแป๊บนึง
  • ก่อนที่จะมาลุยกันต่อ ให้เรามาสรุปกันก่อนดีกว่าว่าตอนนี้ เรามีอะไรอยู่บ้าง
  1. สมมาตรกับแกน x
  2. จุดตัดแกน x คือ x=2, -2
  3. จุดตัดแกน y คือ y=1/2
  4. เส้นกำกับแนวราบคือ y=2
  5. เส้นกำกับแนวดิ่งคือ x=4, -4
  • ต่อไปที่ต้องทำคือ นำข้อ 6-8 มาหา คุณลักษณะของกราฟ แต่ละช่วงต่อไป
  • เริ่มที่  ก่อน
  • หาค่า x ที่ทำให้สมการเท่ากับ 0, ค่า x ที่ทำให้สมการ หาค่าไม่ได้





  • (ค่า x ที่ทำให้สมการ เท่ากับ 0, แก้สมการหาค่า x เฉยๆ)




  • (ค่า x ที่ทำให้สมการเป็น ตี้ คือ x ที่ทำให้ส่วน เท่ากับ 0)
ค่า x ที่ต้องการคือ x=2, -2, 4, -4
เส้นตรงของ y
  • จากเส้นตรงข้างบน จะเห็นว่ามี ช่วงที่ต้องนำมาคิดอยู่ 5 ช่วงด้วยกันคือ
    1. -infinity, -4
    2. -4, -2
    3. -2, 2
    4. 2, 4
    5. 4, infinity
  • ที่ต้องทำคือ หาเครื่องหมาย ประจำแต่ละช่วง
  • ยกตัวอย่างช่วง -2, 2 ให้ดูละกัน
    ก็ลองสุ่มค่า x ระหว่าง -2, 2 ที่คิดว่าแทนในสมการ  แล้วหาค่า y ได้ง่ายที่สุด ในที่นี้ผมเลือก 0 ละกัน, เมื่อ x=0 จะได้ y=1/2 ซึ่งเป็นค่าบวก, เพราะฉะนั้นเครื่องหมายประจำช่วง ของ -2, 2 คือ เครื่องหมายบวก
 เส้นตรงของ y
  • เครื่องหมายแต่ละช่วงของ สมการ  สมการบอกอะไรเรา เกี่ยวกับการวาดกราฟได้บ้าง
  • ถ้าเป็น บวก กราฟก็จะอยู่บน (มีค่า y เป็นบวก)
  • ถ้าเป็น ลบ กราฟก็จะอยู่ล่าง (มีค่า y เป็น ลบ)
  • เสร็จไปหนึ่ง
  • ต่อไปต้องหา เครื่องหมายประจำช่วง ของสมการ 
  • ค่า x ที่ทำให้สมการเท่ากับ 0 คือ x=0
  • ค่า x ที่ทำให้สมการหาค่าไม่ได้คือ x=4, -4
  • เพราะฉะนั้น มีอยู่ 4 ช่วงด้วยกันที่ต้องหา เครื่องหมายประจำช่วง
    1. -infinity, -4
    2. -4, 0
    3. 0, 4
    4. 4, infinity
  • การทำแต่ละช่วง ก็เหมือนข้างบนอะครับ คือสุ่มหาค่า x ในช่วงนั้นๆมาค่านึง ซึ่งเป็นค่าที่คิดว่าแทนในสมการ  แล้วสามารถบอกได้ว่า ผลที่ได้เป็นบวก, ลบ เท่านั้นแหละ
เส้นตรงของ y'
  • เครื่องหมายแต่ละช่วงของสมการ 
     บอกอะไรเราบ้าง
  • ถ้าเป็น บวก เป็น function เพิ่ม
  • ถ้าเป็น ลบ เป็น function ลด
  • เสร็จไปอีกหนึ่ง
  • ต่อไป หาเครื่องหมายประจำช่วง ของสมการ 
  • ค่า x ที่ทำให้สมการเท่ากับ 0 คือ ไม่มี
  • ค่า x ที่ทำให้สมการหาค่าไม่ได้ คือ x=4, -4
  • เพราะฉะนั้นมีที่ต้องคิดอยู่ 3 ช่วงคือ
    1. -infinity, -4
    2. -4, 4
    3. 4, infinity
เส้นตรงของ y''
  • เครื่องหมายแต่ละช่วงของสมการ  บอกอะไรเราบ้าง
  • ถ้าเป็น บวก เป็น กราฟหงาย
  • ถ้าเป็น ลบ เป็น กราฟคว่ำ
  • เอา 3 เส้นที่ได้มารวมกัน ให้เห็นชัดๆดีกว่า
  • จากที่สรุปไปตอนแรก ที่นำ 6-7 มาทำต่อก็คือต้องการ ให้ได้รูปนี้แหละ
  • สรุปแยกเป็นช่วงๆ ได้ด้งนี้
  • หาจุดสูงสุดสัมพัทธ์, ต่ำสุดสัมพัทธ์, จุดเปลี่ยนเว้า
  • จุดสูงสุดสัมพัทธ์
  • จุดต่ำสุดสัมพัทธ์
  • จุดเปลี่ยนเ้้ว้า (เปลี่ยนจาก คว่ำเป็นหงาย หรือ หงายเป็นคว่ำ ก็ได้เหมือนกัน)
  • จุด สูงสุดสัมพัทธ์, ต่ำสุดสัมพัทธ์
  • ให้สนใจค่า x ที่ทำให้ y' เท่ากับ 0
  • แต่จะรู้ได้ไงว่าเ็ป็น สูงสุด, ต่ำสุด สัมพัทธ์
  • ต้องเอา x ที่ทำให้ y' เท่ากับ 0 มาแทนค่าใน y''
    1. ถ้า ได้ค่า มากกว่า 0 เป็น ต่ำสุดสัมพัทธ์
    2. ถ้า ได้ค่า น้อยกว่า 0 เป็น สูงสุดสัมพัทธ์
  • ค่า x ที่ต้องการคือ x=0
  • แต่ยังไม่รู้ว่าเป็น สูงสุด หรือ ต่ำสุด สัมพัทธ์ เพราะฉะนั้นต้อง ตรวจสอบ
  • รู้แล้วว่าเป็น สูงสุดสัมพัทธ์ ที่ x=0 แต่เวลาจะเอาไป plot graph ต้องรู้ค่า y ด้วย เพราะงั้นหาค่า y ก่อนดีกว่า หาโดยนำ x ไปแทนค่าในโจทย์นั้นเอง
 เป็นจุด สูงสุดสัมพัทธ์
  • ต่อไปหา จุดเปลี่ยนเว้า
  • ให้สนใจค่า x ที่ทำให้ y'' เท่ากับ 0
  • แต่ดูจากรูปข้างบนแล้ว ไม่มีนิหว่า
  • เพราะฉะนั้น ไม่มีจุดเปลี่ยนเว้า หนะข้อนี้
  • หลักๆที่ต้องรู้ต่อไปคือ ลักษณะกราฟ ซึ่งจริงๆแล้วก็มีแค่ 4 อันนี่แหละ
    1. เพิ่ม, หงาย กราฟเป็นงี้ 
    2. เพิ่ม, คว่ำ กราฟเป็นงี้ 
    3. ลด, หงาย กราฟเป็นงี้ 
    4. ลด, คว่ำ กราฟเป็นงี้ 
  • ได้สิ่งที่ต้องการครบแล้ว
  • สรุป สุดท้ายก่อนจะลงมือ plot graph
    1. สมมาตรกับแกน x
    2. จุดตัดแกน x คือ x=2, -2
    3. จุดตัดแกน y คือ y=1/2
    4. เส้นกำกับแนวราบคือ y=2
    5. เส้นกำกับแนวดิ่งคือ x=4, -4
    6. (1, 1/2) เป็น จุดสูงสุดสัมพัทธ์
    7. ไม่มี จุดเปลี่ยนเว้า
  • จาเริ่ม plot graph แล้ว หน่าคราบ
  • เอาที่สรุปไว้ตั้งแต่ข้อ 1-5 และ 7, 8 มา plot ก่อนเลย
  • เอาช่วงที่ 1 คือ -infinity, -4 มา plot graph
  • ช่วงนี้เป็น เพิ่ม, หงาย ต้องเป็นรูปนี้
  • และต้องอยู่ เหนือ แกน x (y เป็นค่าบวก)
  • เอาช่วงที่ 2 คือ -4, -2 มา plot graph
  • ช่วงนี้เป็น เพิ่ม, คว่ำ ต้องเป็นรูปนี้
  • และต้องอยู่ ใต้ แกน x (y เป็นค่าลบ)
  • เอาช่วงที่ 3 คือ -2, 0 มา plot graph
  • ช่วงนี้เป็น เพิ่ม, คว่ำ ต้องเป็นรูปนี้
  • และต้องอยู่ เหนือ แกน x (y เป็นค่าบวก)
  • เอาช่วงที่ 4 คือ 0, 2 มา plot graph
  • ช่วงนี้เป็น ลด, คว่ำ ต้องเป็นรูปนี้
  • และต้องอยู่ เหนือ แกน x (y เป็นค่าบวก)
  • เอาช่วงที่ 5 คือ 2, 4 มา plot graph
  • ช่วงนี้เป็น ลด, คว่ำ ต้องเป็นรูปนี้
  • และต้องอยู่ ใต้ แกน x (y เป็นค่าลบ)
  • เอาช่วงที่ 6 คือ 4, infinity มา plot graph
  • ช่วงนี้เป็น ลด, หงาย ต้องเป็นรูปนี้
  • และต้องอยู่ เหนือ แกน x (y เป็นค่าบวก)
  • เสร็จแล้ว ได้กราฟออกมาดังรูป
  • เพิ่มเติมให้นิดหน่อย บางคนอาจเห็นไม่ชัดในช่วง -2,0 และ 0, 2 เดี่ยวจะ zoom ให้ดู แบบชัดๆเลยละกัน





อ้างอิง http://wisut.org/calculus/www.thaicalculus.com/ex_templatefddb.html

รูปภาพที่เกี่ยวข้อง

ติชม


ต้องการให้คะแนนบทความนี้่ ?

สร้างโดย :


ManLunLa

สถานะ : ผู้ใช้ทั่วไป
ไฟฟ้ากำลัง