Nattanon Article


สูตรอินทิเกรต

การอินทิเกรตโดยแยกส่วน (Integration by Parts)

จุดประสงค์

1.       ให้นักศึกษาสามารถใช้เทคนิคอินทิเกรตโดยแยกส่วนได้

 

 

เมื่ออินทิเกรตโดยการแทนค่าทำไม่ได้  อาจใช้การอินทิเกรตโดยการแทนค่าสองครั้ง ที่เรียกว่า การอินทิเกรตโดยแยกส่วน  ซึ่งวิธีนี้มาจากการอินทิเกรตอนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชัน

ถ้า  f  และ  g  เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้   โดยกฎผลคูณของอนุพันธ์

[f(x)(g(x)]  =  f(x)g¢(x)  +  g(x)f¢(x)

อินทิเกรตทั้งสองข้างได้

  =   + 

หรือ                        f(x)g(x) + C  =   + 

หรือ                          =   f(x)g(x)  +   + C

เนื่องจากอินทิกรัลด้านขวาจะให้ค่าคงตัวของการอินทิเกรตอีกจึงไม่จำเป็นเก็บค่า  C  ในสมการ

ดังนั้นจึงได้

                                  =   f(x)g(x)  +                          (1)

ซึ่งเป็น สูตรการอินทิเกรตโดยแยกส่วน   ในทางปฏิบัติจะเขียนสูตรนี้โดยกำหนดดังนี้

                                u  =  f(x)   ,            du  =  f(x)dx

                                v  =  g(x)   ,           dv  =  g¢(x)dx

จึงได้สูตรการอินทิเกรตโดยแยกส่วนอีกรูปหนึ่ง  ดังนี้

จาก  dv = v¢(x)dx  และ  du = u¢(x)dx   สมการข้างบนจึงนิยมเขียนในรูปต่อไปนี้

                                                 =  uv -                                                         (2)

                ขั้นตอนที่สำคัญในการอินทิเกรตโดยแยกส่วนคือการเลือกนิพจน์จากอินทิแกรนด์แทน  dv  ซึ่งนิพจน์ที่เลือกนี้ต้องรวมดิฟเฟอเรลเชียน  dx  ด้วย   และจะทดลองเลือก  dv  ทุกแบบที่อินทิเกรตได้ง่าย ๆ   ส่วนอินทิแกรนด์ที่เหลือจะเป็น  u แล้วหา  du 

                ใน  Maple  มีคำสั่งอินทิเกรตโดยแยกส่วนคือ  intparts   ซึ่งอยู่ใน  student  package  คำสั่ง  intparts   ซึ่งประกอบด้วย  arguments  2  ตัว   argument แรกเป็นนิพจน์ที่จะหาอินทิกรัล

(อินทิแกรนด์)     argument ที่สองเป็นคือ  u  ที่กำหนดขึ้นซึ่งต้องหาอนุพันธ์     สำหรับ  dv  นั้นไม่ต้องกำหนดจะคือส่วนที่เหลือทั้งหมดในอินทิแกรนด์และ dx

 

ตัวอย่าง  5.2.1    จงหา

วิธีทำ      u  ที่เป็นไปได้คือ   x ,    ex   และ   xex     ซึ่งจะได้ว่า   dv  เป็น

exdx ,     xdx   และ   dx    ตามลำดับ

                ใช้คำสั่ง  intparts   ค่า  u   ข้างบนได้ดังนี้

                > restart; with(student):

> p1 := Int(x*exp(x),x);

 

                > intparts(p1,x);

 

> intparts(p1,exp(x));

 

               > intparts(p1,x*exp(x));

 

                จะเห็นว่า   u  =  x   และ  dv  =  exdx     ได้อินทิกรัลที่ได้ง่ายที่สุด

                จึงดำเนินการดังนี้

> p2 := intparts(p1,x);

 

ใช้คำสั่ง  value  หาค่าอินทิกรัลที่เหลือใน  p2  ดังนี้

> p3 := value(p2);

 

เนื่องจาก  Maple   ไม่ได้บวกค่าคงตัว   C;   จึงต้องเพิ่มเข้าไป ดังนี้

> p1 = p3 + C;

 

ตัวอย่าง 5.2.2    จงหา  

วิธีทำ      ให้          dv  =  ex dx                              u  =  x2

                > p1 := Int(x^2*exp(-x),x);

 

                > p2 := intparts(p1,x^2);

 

                > p3 := simplify(p2);

 

 

ใช้การอินทิเกรตโดยแยกส่วนอีกครั้งโดยใช้คำสั่ง  intparts  ซ้ำอีกครั้งดังนี้

> p4 := intparts(p3,x);

 

                > p5 := simplify(p4);

 


> p6 := value(p5);

 


                > p1 = p6 + C;

 

 

ตัวอย่าง 5.2.3    จงหา   

วิธีทำ      ให้          dv  =  dx                                u  =  ln x ,

> p1 := Int(ln(x),x);

 

> p2 := intparts(p1,ln(x));

 

> p3 := value(p2);

 

> p1 = p3 + C;

 

 

ตัวอย่าง 5.2.4    จงหา  

วิธีทำ      ให้          dv  =  cos x dx                                      u  =  x

> p1 := Int(x*cos(x),x);

 

> p2 := intparts(p1,x);

 

> p3 := value(p2);

 

> p1 = p3 + C;

 

 

ตัวอย่าง 5.2.5    จงหา 

วิธีทำ      ให้          dv  =  sin x dx                                      u  =  x2

> p1 := Int(x^2*sin(x),x);

 

 

 

> p2 := intparts(p1,x^2);

 

> p3 := simplify(p2);

 

  คือ อินทิกรัลในตัวอย่าง 5.2.4   จึงอินทิเกรตโดยแยกส่วนซ้ำดังนี้

> p4 := intparts(p3,x);

 

> p5 := value(p4);

 

> p1 = p5 + C;

 

 

 

ตัวอย่าง 5.2.6    จงหา   

วิธีทำ      โจทย์ข้อนี้สามารถกำหนดให้  dv  เป็น  exdx  หรือ   sin x dx  ก็ได้   ในที่นี้ให้

                dv  =  sin x dx                                      u  =  ex

> p1 := Int(exp(x)*sin(x),x);

 

> p2 := intparts(p1,exp(x));

 

> p3 := simplify(p2);

 

> p4 := intparts(p3,exp(x));

 

> p1 = p4;

 

 

 

>isolate(%,p1);

 


 

> p1 = rhs(%) + C;

 

ข้อสังเกต   ตัวอย่าง 5.2.6   ในการอินทิเกรตโดยการแยกส่วน ครั้งที่ 2  กับ     

ถ้าใช้

                > p4 := intparts(p3, cos(x)); 

                จะไม่ได้คำตอบของอินทิกรัลที่ต้องการ   ให้นักศึกษาทดลองดู

 

ตัวอย่าง 5.2.7    จงหา 

วิธีทำ      ให้          dv  =  dx                u  =  arcsin x

> p1 := Int(arcsin(x),x);

 

> p2 : = intparts(p1,arcsin(x));

 

 

> p3 := value(p2);

 

                p1 = p3 + C;

 

 

แบบฝึกหัด 5.2    จงหา

1.                                                      2.    

3.                                               4.    

5.                                                      6.    

ตัวอย่าง 5.2.8    จงหา  

วิธีทำ      ให้          dv  =  sec2q dq                   u  =  secq

                > p1:=Int(sec(x)^3,x);

 

> p2:= intparts(p1,sec(x));

 

 

> p3:=algsubs(sin(x)/cos(x)=tan(x),p2);

 

 

> p4 := subs(tan(x)^2=(sec(x)^2-1),p3);

 

> p5:= expand(p4);

 


 

                > p1 = p5;

                > isolate(%, p1);

 

 

                > value(rhs(%));

 

 

                > p1 = % + C ;

 

 

 

 

สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต  สูตรการอินทิเกรตโดยแยกส่วนมีดังนี้

  =   –                                              (3)

ซึ่งหาค่าดังตัวอย่างต่อไปนี้

 

ตัวอย่าง 5.2.9    จงหา   

วิธีทำ      จากตัวอย่าง 5.2.3  ได้      =  x lnx  -  x  +  C

จึงได้

                  =   –  

     =   (2 ln 2  –  ln 1)  –  (2  –  1)

     =   2 ln 2  –  1          

 

โจทย์ในตัวอย่าง 5.2.9    ใช้คำสั่งใน  Maple  ได้ดังนี้

                p1:=Int(ln(x),x=1..2);

 

> p2:= intparts(p1,ln(x));

 

 

> p1 = value(p2);

 

 

 

สูตรลดทอน (Reduction Formlas)

  =  – sinn-1x cos x  +                                 (4)

  =  cosn-1x sin x +                                  (5)

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกและ  n > 2    หาได้จากการอินทิเกรตโดยแยกส่วนดังนี้ 

 

สูตรลดทอนของ  

                ให้          dv  =  sin x dx                        u  =  sinn-1x

  v  =  – cos x                           du  =  (n – 1)sinn-2x cos x dx

                โดยการอินทิเกรตโดยแยกส่วน ได้

                 =  – sinn-1x cos x  +  (n – 1)

แทนค่า   cos2x   ด้วย  1 – sin2x    จะได้ 

                  =  – sinn-1x cos x  +  (n – 1)

                  =  – sinn-1x cos x  +  (n – 1)  –  (n – 1)

รวมอินทิกรัล    เข้าด้วยกันได้

n  =  – sinn-1x cos x +  (n – 1)

    =  – sinn-1x cos x  +  

ในทำนองเดียวกันสูตรลดทอนของ  

                ให้          dv  =  cos x dx                        u  =  cosn-1x

  v  =  sin x                            du  =  – (n – 1)cosn-2x sin x dx

                โดยการอินทิเกรตโดยแยกส่วน ได้

                 =  cosn-1x sin x  +  (n – 1)

แทนค่า   cos2x   ด้วย  1 – sin2x    จะได้ 

                  =  cosn-1x sin x  +  (n – 1)  –  (n – 1)

รวมอินทิกรัล    เข้าด้วยกันจะได้สูตรลดทอน

  =  cosn-1x sin x +  

ตัวอย่าง 5.2.10   จงหาค่าของ     

วิธีทำ      จากสูตรลดทอน (5)  เมื่อ  n  =  3  ได้

  =  cos3-1x sin x +  

                      =  cos2x sin x +  

                      =  cos2x sin x +  sin x + C  

 

ตัวอย่าง 5.2.11   จงหาค่าของ    

วิธีทำ      จากสูตรลดทอน (5)  เมื่อ  n  =  4  ได้

  =  cos3x sin x +  

                และจากสูตรลดทอน (5)  เมื่อ  n  =  2   ได้

  =  cos x sin x +   = cos x sin x +  x + C1

                ดังนั้น     =  cos3x sin x + (cos x sin x +  x + C1 )

      =  cos3x sin x + cos x sin x +  x + C  เมื่อ  C = C1                

 

ตัวอย่าง 5.2.12   จงใช้สูตรลดทอน (4) หาค่าของ           

วิธีทำ      จากการสังเกตได้ว่า

 = 

           = 0 + 

                ดังนั้น       =  

                                                                =  × 

                                                                =  ×× 

                                                                =  ×××

                                                                =  ××××p

=  p             

ที่มา : http://home.npru.ac.th/teerawat/Cal2_Web/unit52.htm


 



รูปภาพที่เกี่ยวข้อง

Size : 8.77 KBs
Upload : 2013-12-02 08:40:47
ติชม

กำลังแสดงหน้า 1/0
<<
1
>>

ต้องการให้คะแนนบทความนี้่ ?

0
คะแนนโหวด
สร้างโดย :


Nattanon
รายละเอียด Share
สถานะ : ผู้ใช้ทั่วไป
เครื่องกล


TATC KM2011 | วิทยาลัยเทคนิคสัตหีบ
กม.160 193 หมู่ 3 ต.นาจอมเทียน อ.สัตหีบ จ.ชลบุรี 20250

ทีมงานผู้พัฒนา
Generated 1.221737 sec.