แคลคูลัส

นัยทั่วไป

เราไม่จำเป็นต้องให้ f ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง [a, b] และ x_0 เป็นจำนวนในช่วง [a, b] ซึ่ง f ต่อเนื่องที่ x_0 จะได้

F(x) = \int_a^x f(t)\;\mathrm{d}t

สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ x=x_0 และ F(x_0)=f(x_0) เราสามารถคลายเงื่อนไขของ f เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน F นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ F จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก

ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน f ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์ F (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)

ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ U เป็นเซตเปิดใน \mathbb{C} และ เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ F ใน U ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง \gamma : [a,b] \to U ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก

\oint_{\gamma} f(z) \;\mathrm{d}z = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้

อ้างอิง
http://th.wikipedia.org/wiki/


รูปภาพที่เกี่ยวข้อง

ติชม


ต้องการให้คะแนนบทความนี้่ ?

สร้างโดย :


Boy-WD

สถานะ : ผู้ใช้ทั่วไป
โลหะการ