วิทยาลัยเทคนิคสัตหีบ

แคลคูลัส

นัยทั่วไป

เราไม่จำเป็นต้องให้ $f$ ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง $[a, b]$ และ $x_0$ เป็นจำนวนในช่วง $[a, b]$ ซึ่ง $f$ ต่อเนื่องที่ $x_0$ จะได้

$F(x) = \int_a^x f(t)\;\mathrm{d}t$

สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ $x=x_0$ และ $F(x_0)=f(x_0)$ เราสามารถคลายเงื่อนไขของ $f$ เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน $F$ นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ $F$ จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก

ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน $f$ ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์ $F$ (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)

ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ $U$ เป็นเซตเปิดใน $\mathbb{C}$ และ เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ $F$ ใน $U$ ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง $\gamma : [a,b] \to U$ ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก