แคลคูลัส

 

ทำไม วิชาแคลคูลัสจึงมี “ประสิทธิภาพ” สูงกว่าพีชคณิตเบื้องต้น ?

Email Print PDF

 

alt
คงจะไม่เป็นธรรมอย่างยิ่ง เมื่อนำวิชาหนึ่งคือวิชาพีชคณิต (Algebra) มาเปรียบเทียบในเชิง “ประสิทธิภาพ” หรือความสามารถกับวิชาแคลคูลัส (Calculus) เพราะวิชาแคลคูลัสเกิดมาภายหลังวิชาพีชคณิตถึงกว่าหนึ่งพันปี โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิชาแคลคูลัสได้เกิดขึ้นภายหลังการบรรลุทางปัญญาครั้งยิ่งใหญ่ของมนุษยชาติ นั่นคือภายหลังการใช้ “ญาณหยั่งรู้ (intuition)” ของจำนวนที่ต้องหารด้วย “จำนวนที่เข้าใกล้ศูนย์” จนนำไปสู่ความรู้ใหม่เรื่อง “ลิมิต (limit) ” ที่คิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์สองท่านที่ชื่อ ไลบ์นิซ (Leibniz) และนิวตัน (Newton) เมื่อประมาณ 400 ปีที่แล้ว
    แต่บทความนี้ต้องการจะเปรียบเทียบให้เห็นในบางสิ่งบางอย่างที่คนในวงการได้มองข้ามไป

 

 


ในวงการวิชาแคลคูลัสไม่ว่าจะเป็นตำราหรือในกลุ่มอาจารย์ผู้สอน มักจะกล่าวและยอมรับกันว่า “ปริพันธ์ (integral) คือส่วนกลับของอนุพันธ์ (derivative)”   เช่น เมื่อต้องการหาว่า  alt เท่ากับอะไร   เราก็จะคิดย้อนกลับไปว่า   “อนุพันธ์ของอะไรจึงจะเท่ากับ  alt ”   แล้วกระบวนการคิดของเราก็จบอยู่เพียงแค่นั้น  เพราะเราได้คำตอบที่ต้องการแล้ว  ผู้เขียนเองซึ่งอยู่ในวงการนี้มานานร่วม 40 ปีก็ไม่เคยได้คิดอะไรลึกไปกว่านั้นว่ามันเป็นส่วนกลับกันอย่างไร
    บทความนี้จะคิดลึกลงไปให้เห็นว่า “ปริพันธ์เป็นส่วนกลับของอนุพันธ์” ได้อย่างไร โดยอยู่บนฐานคิดของ “การดำเนินการ (operation)” คือ บวก ลบ คูณ และ หาร นอกจากนี้ เมื่อเปรียบเทียบประสิทธิภาพ (หรือความสามารถการทำงานในช่วงเวลาที่กำหนด) ในวิชาพีชคณิตเบื้องต้นแล้ว เราจะพบว่า ในวิชาแคลคูลัสแทนที่จะดำเนินการทีละครั้งอย่างวิชาพีชคณิตคือทำบวก ลบ คูณ หาร ครั้งละหนึ่งตัวดำเนินการ (operator)  แต่วิชาแคลคูลัสจะดำเนินการครั้งละสองตัวดำเนินการ คือ ลบแล้วหารในครั้งเดียวกันในกรณีของอนุพันธ์ และทำคูณแล้วบวกในครั้งเดียวกันในกรณีของปริพันธ์
    เพื่อความเข้าใจในเบื้องต้น การดำเนินการในวิชาแคลคูลัสในส่วนของอนุพันธ์และปริพันธ์สามารถพิจารณาได้ดังแผนภาพข้างล่างนี้

 

 

 

alt



2.   ทำไมการดำเนินการในอนุพันธ์จึงเป็น ลบ กับ หาร พร้อมกัน
    ผู้เขียนเห็นว่าข้อบกพร่องที่สำคัญในการเรียนการสอนรวมทั้งตำราวิชาแคลคูลัสทั้งในระดับโลกและระดับประเทศก็คือ มีการเน้นที่เทคนิคในการหาอนุพันธ์และปริพันธ์มากเกินไป  จนไม่มีเวลาหรือพื้นที่ให้กับความหมายที่เป็นหัวใจสำคัญที่แท้จริงของวิชา  เมื่อไม่มีเวลาในส่วนดังกล่าวจึงไม่ได้สนใจเปรียบเทียบเรื่องการดำเนินการที่จะกล่าวต่อไปนี้
เพื่อค้นหาคำตอบในหัวข้อนี้ เราจำเป็นต้องเริ่มต้นจากนิยามและความหมายของอนุพันธ์ของฟังก์ชันกันก่อน  ซึ่งทั้งนิยาม (จากสูตรในรูปของลิมิต) และความหมาย (ในรูปถ้อยคำบรรยาย) ซึ่งก็ต้องเป็นสิ่งเดียวกันหรือเหมือนกัน แต่บทความนี้จะกล่าวถึงเฉพาะนิยามในรูปสูตรของอนุพันธ์เท่านั้น
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน  alt   คือ    alt       . . . (1)

จากนิยามในรูปสูตรดังกล่าว เราจะเห็นว่า ทุกครั้งที่มีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะมีการดำเนินการทางพีชคณิตเบื้องต้นถึงสองครั้งคือ ลบแล้วตามด้วยหาร หรือดำเนินการครั้งเดียวแต่ทำสองอย่าง ในขณะที่วิชาพีชคณิตเบื้องต้นจะต้องทำทีละครั้ง การดำเนินการดังกล่าวมาจากความหมายของอนุพันธ์ที่ว่า คือ อัตราการเปลี่ยนแปลง (rate of change) ของฟังก์ชันนั่นเอง
ถ้าเราคิดในแง่ของเวลาที่ใช้ในการคำนวณ (วิชาศาสตร์ว่าด้วยการคำนวณจะสนใจเรื่องนี้มาก) เวลาที่ใช้ในการทำพีชคณิตสองครั้งจะมากกว่าการหาอนุพันธ์ครั้งเดียว ถ้าจะเปรียบเทียบประสิทธิภาพของวิชาระหว่างพีชคณิตกับแคลคูลัส ผู้เขียนเห็นว่าวิชาแคลคูลัสจะมีประสิทธิภาพสูงกว่า(พิจารณาในแง่ของการดำเนินการเท่านั้น)
ถ้าคิดในแง่ของความก้าวหน้าทางปัญญาตลอดประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติ  พบว่าเมื่อกว่า 2000 ปีมาแล้ว อาร์คีมีดีสก็พยายามจะคำนวณสิ่งที่ต้อง “หารด้วยศูนย์”   แต่ก็ไม่สามารถทำได้เพราะวิชาพีชคณิตเขาห้ามการหารด้วยศูนย์
นักคณิตศาสตร์ในปัจจุบันบางท่านได้เขียนเป็นสมการให้เข้าใจอย่างง่าย ๆ ว่า “แคลคูลัส เท่ากับพีชคณิตบวกลิมิต”   
อย่างไรก็ตาม   Marius  Sophus  Lie  นักคณิตศาสตร์ชาวนอรเวย์ ได้เคยกล่าวถึงวิชาหนึ่งคือสมการเชิงอนุพันธ์ (ที่ถือว่าเป็นวิชาลูกของแคลคูลัส) ไว้ว่า  “Among all mathematical disciplines the theory of  differential equations is the most important.” (ในบรรดาหลักการเชิงคณิตศาสตร์ทั้งหลาย ทฤษฎีเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์คือสิ่งสำคัญที่สุด)
    ผู้เขียนอ่านใจของ  M. S. Lie   ว่าคำว่า “สำคัญ” ในคำพูดดังกล่าวน่าจะหมายถึงคำว่า “ประสิทธิภาพ” ที่ผู้เขียนใช้นั่นเอง


3.  ทำไมการดำเนินการในปริพันธ์จึงเป็น คูณ กับ บวก พร้อมกัน
    โดยวิธีคิดเดิม คือเริ่มต้นจากนิยามของปริพันธ์จำกัดเขต ( definite  integral) ของ  alt  จาก  x = a  ถึง   x = b  

 

alt                                                                          . . . (2)
เมื่อ,  alt
    เราสามารถสังเกตได้ว่า ทางขวามือของสมการ (2) คือ ผลบวกของผลคูณ  นั่นคือ มีการดำเนินการเพื่อหาผลคูณก่อน จากนั้นจึงค่อยดำเนินการหาผลบวกตามมา
    ถ้า  alt  แทนกำลัง ( power )  ของกระแสไฟฟ้าที่ใช้ในบ้านเมื่อเวลา  alt  ใด ๆ  ดังนั้น ผลคูณของ  alt    กับช่วงเวลา alt  ก็คือพลังงานไฟฟ้า (energy) ที่ใช้ในช่วงเวลาดังกล่าว  
    เมื่อนำพลังงานไฟฟ้าในแต่ละช่วง (คือ alt  ) มาบวกกัน ก็จะได้พลังงานไฟฟ้ารวมโดยประมาณทั้งวัน   เมื่อต้องการทราบพลังงานไฟฟ้าที่แน่นอน (ไม่คลาดเคลื่อนเลย) เราจึงใช้กระบวนการของลิมิตเข้ามาใช้ตลอดช่วงเวลา  24 ชั่วโมง
    โดยสรุป การหาปริพันธ์ในวิชาแคลคูลัสก็คือ การหาผลบวกของผลคูณของสองปริมาณนั่นเอง แต่ต้องไม่ลืมใช้กระบวนการของลิมิตด้วย
    
4. ความเชื่อมโยงระหว่างอนุพันธ์และปริพันธ์
    มีทฤษฎีอยู่ 2 บทที่จะเชื่อมโยงอนุพันธ์กับปริพันธ์เข้าด้วยกัน คือทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Calculus) บทความนี้จะนำเสนอเพียงบทเดียวเพื่อแสดงให้เห็นว่า ผลต่าง (หรือผลลบ) ของสองปริพันธ์จะนำไปสู่อนุพันธ์ได้อย่างไร
ทฤษฎีบท  สมมุติว่า alt  เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่อง  
                     ถ้า  alt   แล้ว     alt
    เพื่อที่จะหา alt  เราจะต้องเริ่มต้นจากผลต่างของ alt  (หรือ alt  ) จากนิยาม นั่นคือ alt
  alt
                               
หารตลอดด้วย alt  จะได้
                alt   =   ค่าเฉลี่ยของ alt  ในช่วง alt   ถึง     
ซึ่งเท่ากับ  alt    เมื่อ  alt

เมื่อ  alt ,  alt    ,  alt    ดังนั้น     
    เราสามารถสรุปเป็นถ้อยคำได้ว่า  อนุพันธ์ของปริพันธ์(ของฟังก์ชันใด) จะเท่ากับฟังก์ชันนั้น
5. บทส่งท้าย: อนุพันธ์ ปริพันธ์ กับความสับสนในภาษาไทย
     ในแง่ของภาษา การแปลคำว่า “integration” ในภาษาอังกฤษมาเป็น “การหาปริพันธ์” ในภาษาไทย ผู้เขียนคิดว่าน่าจะมีปัญหาต่อการทำความเข้าใจ แท้ที่จริงแล้ว ความหมายที่ปรากฏในสมการ (2) ก็คือผลบวกที่นักคณิตศาสตร์ใช้แทนด้วยเครื่องหมายสัญลักษณ์    alt     ( อ่านว่า sigma ในภาษากรีก)   เพื่อให้การเขียนพจน์ทางขวามือของสมการ (2) สะดวกขึ้น นักคณิตศาสตร์จึงจับเครื่องหมาย alt  มายืดออกจนได้เป็นเครื่องหมาย   alt
    ในระยะ 20-30  ปีมานี้สังคมไทยเรารู้จักและเข้าใจคำว่า “Integration” และมีการแปลเป็นภาษาไทยว่า “บูรณาการ”   ซึ่งหมายถึงการรวมที่มีความหมายสอดคล้องกับที่มาที่ไปของสมการ (2)  ได้เป็นอย่างดี
ดังนั้น ผู้เขียนจึงมีความเห็นว่า การใช้คำว่า “การหาปริพันธ์” แทนคำว่า “Integration” น่าจะทำให้เกิดความสับสนต่อคนไทยมาก
ในทำนองเดียวกัน คำว่า “derivative”  ที่ภาษาไทยใช้คำว่า “อนุพันธ์”  ก็น่าจะทำให้คนไทยสับสนได้ระดับหนึ่ง  พจนานุกรมฉบับ English Language Dictionary โดย Collins Cobuild (1987) ได้ให้คำอธิบายคำว่า “derivative” ว่า “คือสิ่งที่ไม่ใช่สิ่งใหม่หรือสิ่งดั้งเดิมแต่เป็นสิ่งที่พัฒนามาจากสิ่งอื่น” ถ้าเปรียบกับเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันก็จะเป็นไปทำนองเดียวกัน คือพัฒนามาจากฟังก์ชันเดิม หรือมีรากของการมีความ “สัมพันธ์” กันอยู่บ้าง  
อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนคิดว่า ถ้าเรายึดนิยามของอนุพันธ์ตามความหมายในสมการ (1) เราจะพบว่า “อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลง” หรือ “อัตราของผลต่าง”  ของฟังก์ชัน
ถ้าเราตัดเรื่องลิมิตทิ้งไปและคิดการเปลี่ยนแปลงในช่วงหนึ่งหน่วยของตัวแปรอิสระ  การหาอนุพันธ์ (differentiation) ก็คือการหาผลต่าง (difference)  นั่นเอง
เมื่อเป็นเช่นนี้  สมการเชิงอนุพันธ์ก็คือสมการเชิงผลต่าง ถ้าแปลศัพท์โดยอิงกับความหมายเดิมของก็น่าจะลดความสับสนลงได้บ้าง
สุดท้ายนี้ ผู้เขียนเชื่อว่า บทความนี้ได้ทำหน้าที่หลักคือตอบคำถามที่สำคัญตามที่ได้ตั้งไว้เรียบร้อยแล้ว.

 

ประสาท มีแต้ม

ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์  มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์


อ้างอิง: http://www.math.psu.ac.th/html/en/Article/100-calculus.html


รูปภาพที่เกี่ยวข้อง

ติชม


ต้องการให้คะแนนบทความนี้่ ?

สร้างโดย :


Jakkaphan

สถานะ : ผู้ใช้ทั่วไป
อิเล็กทรอนิกส์