บทความ แคลคูลัส

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร

 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร  ในเอกสารชุดนี้มีสูตร  ดังนี้

สูตรที่  1       ถ้า    y   =   c   เมื่อ  c  เป็นค่าคงตัวแล้ว  

                                                นั่นคือ       

พิสูจน์     จาก               f(x)     =          0

                          จะได้                 =         

                                                             =         

                                                             =                   =         0

  ตัวอย่างที่  1        กำหนดให้    y   =   -8    จงหา                  

                                                      
        วิธีทำ                                   =         
                                                             =          0

        ตัวอย่างที่  2        กำหนดให้    y   =   81    จงหา                      

                             
        วิธีทำ                                   =         

                                                             =          0

 
สูตรที่  2       ถ้า   y   =   x    แล้ว      =    1


                                                นั่นคือ        =   1

        

        พิสูจน์                  ให้    f(x)     =          x

                          จะได้                 =         

                                                             =         

                                                             =         

                                                             =          1


        ข้อสังเกต                 หมายถึง  อนุพันธ์ของฟังก์ชัน  y  เทียบกับ  x  ที่  x  ใด ๆ   เท่ากับ  1
       

  สูตรที่  3       ถ้า   y   =   xn   เมื่อ  n  เป็นจำนวนจริงแล้ว  

  นั่นคือ             

          

 ตัวอย่างที่  3        กำหนดให้    f(x)   =   x6     จงหาค่าของ  f '(x)

        วิธีทำ                    f '(x)           =         

                                                          =          6x6 - 1

                                                          =          6x5                                                                                    ตอบ

 

ตัวอย่างที่  4        กำหนดให้     y   =       จงหา  

        วิธีทำ       จาก           y            =         

                                                          =         

                         หรือ                   =         

                                                          =          -4x-4 - 1

                                                          =          -4x-5

                                                          =                                 ตอบ

 

ตัวอย่างที่  5        กำหนดให้     y   =        จงหา 

        วิธีทำ                         =         

                                           =         

                                                 =         

                                                 =         

                                                 =                                   ตอบ

 

สูตรที่  4       ถ้า    y   =   f(x) + g(x)   แล้ว


                                     

                               จากสูตรที่  4   จะได้ว่า  อนุพันธ์ของผลบวกของฟังก์ชันเท่ากับผลบวกของอนุพันธ์

        ตัวอย่างที่ 6        กำหนดให้      y   =   x6 + 7    จงหา 

        วิธีทำ       จาก                    y         =       x6 + 7

                          จะได้                     =      

                                                       =       6x6 - 1  +  0

                                                       = 6x5                              ตอบ

 

        ตัวอย่างที่ 7        กำหนดให้      y   =   x4 + x2    จงหา 

        วิธีทำ       จาก                    y         =       x4 + x2

                          จะได้                     =      

                                                             =       4x4 - 1  +  2x2 - 1

                                                             =       4x3 + 2x                                               ตอบ

 

   สูตรที่  5       ถ้า    y   =   f(x) - g(x)   แล้ว


                                     

                           จากสูตรที่  5   จะได้ว่า  อนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชันเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์

 

        ตัวอย่างที่ 8        กำหนดให้     f(x)   =   x3 - x2     จงหา   f '(x)

        วิธีทำ         จาก                  f(x)   =         x3 - x2

                                             f '(x)   =        

                                                     =         3x3 - 1 - 2x2 - 1

                                                     =         3x2 - 2x

 

        ตัวอย่างที่ 9        กำหนดให้     y   =   x5 - x3 - x2     จงหา  

        วิธีทำ       จาก                    y         =         x5 - x3 - x2

                          จะได้                     =        

                                                             =         5x5 - 1 - 3x3 - 1 - 2x2 - 1

                                                             =         5x4 - 3x2 - 2x                              ตอบ

 

  สูตรที่  6       ถ้า    y   =   cf(x)    เมื่อ  c  เป็นค่าคงตัว  แล้ว

                                                                         

 

         ตัวอย่างที่ 10        กำหนดให้     y   =   5x2 - 3x     จงหา      และ   f '(2)

        วิธีทำ       จาก                    y         =         5x2 - 3x

                          จะได้                     =        

                                                 =               

                                                 =         5(2x) - 3(1)


                  จาก                        =         10x - 3

                                      f/(x)          =         10x - 3

                                      f/(2)          =         10(2) - 3

                                                      =         17
                 

สูตรที่  7       ถ้า   y   =        แล้ว

                                                        =            
                                                                            

              
                จากสูตรที่  7   อาจเขียนได้ว่า       =    f(x) g '(x)  +  g(x) f '(x)
 

        ตัวอย่างที่  11        กำหนดให้    y   =   (x2 - 2x + 3)(2x + 5)     จงหา 

        วิธีทำ       จาก               y         =     (x2 - 2x + 3)(2x + 5)

                        จะได้                   =    
                                                   =    

                                                   =     (x2 - 2x + 3)(2 + 0) + (2x + 5)(2x - 2)

                                                   =     (2x2 - 4x + 6) + (4x2 + 6x - 10)

                                                   =     2x2 - 4x + 6 + 4x2 + 6x - 10

                                                    =     6x2 + 2x - 4                                                 ตอบ

 

          สูตรที่  8       ถ้า    y   =      โดยที่   g(x) ¹ 0    แล้ว

                                                    =    

              จากสูตรที่  8    คงเขียนได้ว่า       =  

 

        ตัวอย่างที่  12        กำหนดให้     y    =         จงหา  

        วิธีทำ       จาก                    y         =        

                          จะได้                    =        

                                                      =        

                                                      =              

 
                                                       =        

                                                       =                                ตอบ

 

         ตัวอย่างที่  13         ให้    f(x)   =       จงหา   f '(x)

                วิธีทำ            จาก      f(x)      =        

                                          f '(x)         =            

                                                       =            

                                                       =            

                                                       =            

                                                       =            

                                                       =                                                     ตอบ

 

 

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับการใช้สูตรการหาอนุพันธ์

        ตัวอย่างที่  1        จงหาจุดบนเส้นโค้ง   y   =   x3 – 12x    เมื่อเส้นสัมผัสที่จุดเหล่านั้นขนานกับแกน  X

        วิธีทำ       จาก               y     =     x3 – 12x

                          จะได้            =    

                                              =      3x2 – 12

                      นั่นคือ  เส้นสัมผัสเส้นโค้ง  ณ  จุด  (x, y)  ใด ๆ  จะมีความชันเท่ากับ  3x2 – 12 

                แต่เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ขนานกับแกน  X  ก็คือเส้นตรงที่มีความชันเป็นศูนย์

                                 3x2 – 12           =     0

                                  x2 – 4             =     0

                                 (x - )(x + 2)         =     0

                        จะได้   x  =  2   หรือ   x  =  -2

                      เมื่อ   x  =  2   จะได้      y   =   (2)3 – 12(2)       =     -16

                               x  =  -2  จะได้     y    =   (-2)3 – 12(-2)    =     16

        จุดบนเส้นโค้งที่เส้นสัมผัสที่จุดนั้นขนานกับแกน  X  คือ  จุด  (-2, 16)  และ  (2, -16)                                        ตอบ

 

        ตัวอย่างที่  2        จงหาจุดบนเส้นโค้ง    y   =    ที่ทำให้เนสัมผัสที่จุดดังกล่าวตั้งฉากกับเส้นตรง   x – 2y + 4    =   0

        วิธีทำ       ให้     P(m, n)  เป็นที่ต้องการหา
                          เนื่องจากจุด  P  อยู่บนเส้นโค้ง    y   =       จะได้ว่า

                                                               n     =        …………………………สมการที่ 1

                                จาก              y     =    

                                      จะได้          =    3x + 2   ซึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสที่จุด  (x, y)  ใด ๆ

                       แต่เส้นสัมผัสซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง   x – 2y + 4   =   0   ซึ่งมีความชันเท่ากับ 

                            เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ  -2

                                                     3x + 4       =    -2

                                                      3x       =    -6

                                                       x        =    -2

                      นั่นคือ  จะได้  m  =  -2   นำไปแทนค่าใน สมการที่ 1   จะได้

                                               n    =   (-2)2 + 4(-2) + 1    =    -1

                          จุด  P  ที่ต้องการ  คือ  (-2, -1)         

http://school.obec.go.th/hadsamranwit/caursware/Preeda%20_Hadsamran1/Use1.html                                           

รูปภาพที่เกี่ยวข้อง

ติชม


ต้องการให้คะแนนบทความนี้่ ?

สร้างโดย :


Nong39

สถานะ : ผู้ใช้ทั่วไป
การก่อสร้าง