บทความ แคลคูลัส
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร ในเอกสารชุดนี้มีสูตร ดังนี้
 |
สูตรที่ 1 ถ้า y = c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวแล้ว นั่นคือ |
|---|
พิสูจน์ จาก f(x) = 0
จะได้ 
= 
= 
= 
= 0
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ y = -8 จงหา 
วิธีทำ 
= 
= 0
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ y = 81 จงหา 
วิธีทำ 
= 
= 0
 |
สูตรที่ 2 ถ้า y = x แล้ว
 = 1
|
|---|
= 1
พิสูจน์ ให้ f(x) = x
จะได้ 
= 
= 
= 
= 1
ข้อสังเกต 
หมายถึง อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y เทียบกับ x ที่ x ใด ๆ เท่ากับ 1
 | สูตรที่ 3 ถ้า y = xn เมื่อ n เป็นจำนวนจริงแล้ว 
นั่นคือ |
|---|
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ f(x) = x6 จงหาค่าของ f '(x)
วิธีทำ f '(x) = 
= 6x6 - 1
= 6x5 ตอบ
ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ y = 
จงหา 
วิธีทำ จาก y = 
= 
หรือ 
= 
= -4x-4 - 1
= -4x-5
= 
ตอบ
ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ y = 
จงหา 
วิธีทำ 
= 
= 
= 
= 
= 
ตอบ
 |
สูตรที่ 4 ถ้า y = f(x) + g(x) แล้ว
|
|---|
จากสูตรที่ 4 จะได้ว่า อนุพันธ์ของผลบวกของฟังก์ชันเท่ากับผลบวกของอนุพันธ์
ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ y = x6 + 7 จงหา 
วิธีทำ จาก y = x6 + 7
จะได้ 
= 
= 6x6 - 1 + 0
= 6x5 ตอบ
ตัวอย่างที่ 7 กำหนดให้ y = x4 + x2 จงหา 
วิธีทำ จาก y = x4 + x2
จะได้ 
= 
= 4x4 - 1 + 2x2 - 1
= 4x3 + 2x ตอบ
 |
สูตรที่ 5 ถ้า y = f(x) - g(x) แล้ว
|
|---|
จากสูตรที่ 5 จะได้ว่า อนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชันเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์
ตัวอย่างที่ 8 กำหนดให้ f(x) = x3 - x2 จงหา f '(x)
วิธีทำ จาก f(x) = x3 - x2
f '(x) = 
= 3x3 - 1 - 2x2 - 1
= 3x2 - 2x
ตัวอย่างที่ 9 กำหนดให้ y = x5 - x3 - x2 จงหา 
วิธีทำ จาก y = x5 - x3 - x2
จะได้ 
= 
= 5x5 - 1 - 3x3 - 1 - 2x2 - 1
= 5x4 - 3x2 - 2x ตอบ
 |
สูตรที่ 6 ถ้า y = cf(x) เมื่อ c เป็นค่าคงตัว แล้ว |
|---|
ตัวอย่างที่ 10 กำหนดให้ y = 5x2 - 3x จงหา 
และ f '(2)
วิธีทำ จาก y = 5x2 - 3x
จะได้ 
= 
= 
= 5(2x) - 3(1)
จาก 
= 10x - 3
f/(x) = 10x - 3
f/(2) = 10(2) - 3
= 17
 |
สูตรที่ 7 ถ้า y = |
|---|
แล้ว
= 
จากสูตรที่ 7 อาจเขียนได้ว่า 
= f(x) g '(x) + g(x) f '(x)
ตัวอย่างที่ 11 กำหนดให้ y = (x2 - 2x + 3)(2x + 5) จงหา 
วิธีทำ จาก y = (x2 - 2x + 3)(2x + 5)
จะได้ 
= 
= 
= (x2 - 2x + 3)(2 + 0) + (2x + 5)(2x - 2)
= (2x2 - 4x + 6) + (4x2 + 6x - 10)
= 2x2 - 4x + 6 + 4x2 + 6x - 10
= 6x2 + 2x - 4 ตอบ
 |
สูตรที่ 8 ถ้า y = |
|---|
โดยที่ g(x) ¹ 0 แล้ว
= 
จากสูตรที่ 8 คงเขียนได้ว่า 
= 
ตัวอย่างที่ 12 กำหนดให้ y = 
จงหา 
วิธีทำ จาก y = 
จะได้ 
= 
= 
= 
= 
= 
ตอบ
ตัวอย่างที่ 13 ให้ f(x) = 
จงหา f '(x)
วิธีทำ จาก f(x) = 
f '(x) = 
= 
= 
= 
= 
= 
ตอบ
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับการใช้สูตรการหาอนุพันธ์
ตัวอย่างที่ 1 จงหาจุดบนเส้นโค้ง y = x3 – 12x เมื่อเส้นสัมผัสที่จุดเหล่านั้นขนานกับแกน X
วิธีทำ จาก y = x3 – 12x
จะได้ 
= 
= 3x2 – 12
นั่นคือ เส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด (x, y) ใด ๆ จะมีความชันเท่ากับ 3x2 – 12
แต่เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ขนานกับแกน X ก็คือเส้นตรงที่มีความชันเป็นศูนย์
3x2 – 12 = 0
x2 – 4 = 0
(x - )(x + 2) = 0
จะได้ x = 2 หรือ x = -2
เมื่อ x = 2 จะได้ y = (2)3 – 12(2) = -16
x = -2 จะได้ y = (-2)3 – 12(-2) = 16
จุดบนเส้นโค้งที่เส้นสัมผัสที่จุดนั้นขนานกับแกน X คือ จุด (-2, 16) และ (2, -16) ตอบ
ตัวอย่างที่ 2 จงหาจุดบนเส้นโค้ง y = 
ที่ทำให้เนสัมผัสที่จุดดังกล่าวตั้งฉากกับเส้นตรง x – 2y + 4 = 0
วิธีทำ ให้ P(m, n) เป็นที่ต้องการหา
เนื่องจากจุด P อยู่บนเส้นโค้ง y = 
จะได้ว่า
n = 
…………………………สมการที่ 1
จาก y = 
จะได้ 
= 3x + 2 ซึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสที่จุด (x, y) ใด ๆ
แต่เส้นสัมผัสซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง x – 2y + 4 = 0 ซึ่งมีความชันเท่ากับ 
เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ -2
3x + 4 = -2
3x = -6
x = -2
นั่นคือ จะได้ m = -2 นำไปแทนค่าใน สมการที่ 1 จะได้
n = 
(-2)2 + 4(-2) + 1 = -1
จุด P ที่ต้องการ คือ (-2, -1)
http://school.obec.go.th/hadsamranwit/caursware/Preeda%20_Hadsamran1/Use1.html
