แคลคูลัส

การประยุกต์อนุพันธ์

 

อนุพันธ์อันดับหนึ่ง ( First Derivative )

                สามารถนำมาใช้ประยุกต์เพื่อหาค่าต่างๆ

-         ค่าความชันของ function

-         จุดวิกฤติของ function

-         ทดสอบ function ว่าเป็น Increase Function หรือ Decrease Function

-         ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

-         ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

 

 

ค่าความชันของ function

                ขั้นตอนในการหาค่าความชันของฟังก์ชันโดยการประยุกต์จากการใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่งคือ

                1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน                                    หรือ

                2. นำค่า x = a ที่จุดหนึ่งมาแทนค่าใน  

 

ซึ่งค่าที่ออกมาจะคือค่าของความชันของฟังก์ชันที่จุด x = a นั้นเอง

นิยาม

ให้ และมีฟังก์ชัน y = f(x)

ความชันที่จุดจุดหนึ่ง ณ ตำแหน่งที่ x = a คือ

เช่น

   จงหาความชันที่จุด x = 1 , 2 ตามลำดับ

 

หา  = =

1.           

                ความชันที่ตำแหน่ง x = 1 คือ 0

2.           

                ความชันที่ตำแหน่ง x = 2 คือ 3

จุดวิกฤติของ function

                ขั้นตอนในการหาค่าวิกฤติของฟังก์ชันโดยการประยุกต์จากการใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่งคือ

                1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน                                    หรือ

                2. นำค่า  หรือ  เท่ากับศูนย์

                3. หาคำตอบของสมการ  หรือ

                4. ค่าของคำตอบที่ออกมาของค่า x คือค่าวิกฤติ หรือ Critical Value

                5. นำค่า x ที่เป็นค่าวิกฤตินั้นไปแทนค่าใน

 

เช่น

                1.

                                หา

                                กำหนดให้  คือ

                                2x – 4  =  0

                        2x        = 4

                        x          = 2

            ที่ตำแหน่ง x = 2 คือค่าวิกฤติ

            นำ x = 2 ไปแทนลงใน

                       

 

 

            \ จุดวิกฤติคือจุด ( 2 , 1 )

 

           

2.

            หา  โดยการใช้สูตรลัดจาก

           

           

           

 

 

 

กำหนดให้

   

ต่อมาคือเทคนิคการแก้สมการหรืออสมการที่มีการหารด้วยพหุนามจากโจทย์ข้อนี้คือมีการหารด้วย  ซึ่งเทคนิคที่เราใช้คือ การคูณด้วย

 

 

            หรือสรุปง่ายๆคือ การเอาตัวหารไปไว้ด้านบนได้เลยนั้นเองครับ

                                   แก้สมการโดยแยกเป็น 2 กรณี

1.

     

2. 

      ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

         =   0

        =   0

     

      

            จากนั้นแทนค่าใน

       ,

\ จุดวิกฤติคือจุด ( 0 , 2 ) , ( -2 , 0 ) , ( 2 , 0 )

ทดสอบ function ว่าเป็น Increase Function หรือ Decrease Function

ขั้นตอนในการทดสอบ function ว่าเป็น Increase Function หรือ Decrease Function

โดยการประยุกต์จากการใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่งคือ

                1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน                                    หรือ

                2. นำค่า  หรือ  เท่ากับศูนย์

                3. หาคำตอบของสมการ  หรือ

                4. ค่าของคำตอบที่ออกมาของค่า x คือค่าวิกฤติ หรือ Critical Value

                5. จากนั้นนำค่าบริเวณใกล้เคียงกับค่าวิกฤติมาแทนค่า

                                5.1  แสดงว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่ม (Increase Function )

                                5.2  แสดงว่าเป็นฟังก์ชันลด (Decrease Function )

 

เช่น       

                หา             ซึ่งคือ

                กำหนดให้       คือ

                               =             0

                            =             0

                  =             0

 เป็นค่าวิกฤติ

-1

1

 

 


                นำค่าใกล้เคียงค่าวิกฤติมาแทน ซึ่งเราสามารถนำ -2 , 0 , 2 ไปแทนใน

               

               

               

-1

1

+

+

-

 

 

 


                เครื่องหมายที่แสดงบนเส้นจำนวนนั้นคือ ลักษณะของฟังก์ชัน

                \                     เป็นฟังก์ชันเพิ่ม

                                                                   เป็นฟังก์ชันลด

 ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

ขั้นตอนในการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ โดยการประยุกต์จากการใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่งคือ

                1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน                                     หรือ

                2. นำค่า  หรือ  เท่ากับศูนย์

                3. หาคำตอบของสมการ  หรือ

                4. ค่าของคำตอบที่ออกมาของค่า x คือค่าวิกฤติ หรือ Critical Value

                5. นำค่า x ที่เป็นค่าวิกฤติทั้งหมดไปแทนค่าใน

                6. แล้วนำไปเปรียบเทียบค่า

                                6.1 ค่า x ที่ทำให้  มีค่าน้อยที่สุดเราจะเรียกว่า ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

                                6.2 ค่า x ที่ทำให้  มีค่ามากที่สุดเราจะเรียกว่า ค่าสูงสุดสัมบูรณ์

 

เช่น        จงหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดจาก

                **จากโจทย์จะเห็นว่าไม่ได้ระบุช่วงใดๆ มาให้ ให้เราแบบค่าสูงสุด ต่ำสุดสัมพัทธ์**

                หา

                กำหนดให้       จะได้ว่า

               =             0

            =             0

  =             0

\ ค่าวิกฤติคือตำแหน่งที่ x =

 

นำค่าวิกฤติที่ได้ มาแทนค่าลงใน

 

 

 

จะเห็นว่าที่ตำแหน่ง x = -1 ค่าของฟังก์ชันเป็น 3 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ 

จะเห็นว่าที่ตำแหน่ง x = 1 ค่าของฟังก์ชันเป็น -3 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์


ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ 

ขั้นตอนในการค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ โดยการประยุกต์จากการใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่งคือ

                1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน                                     หรือ

                2. นำค่า  หรือ  เท่ากับศูนย์

                3. หาคำตอบของสมการ  หรือ

                4. ค่าของคำตอบที่ออกมาของค่า x คือค่าวิกฤติ หรือ Critical Value

                5. นำค่า x ที่เป็นค่าวิกฤติทั้งหมดไปแทนค่าใน

                6. แล้วนำไปเปรียบเทียบค่า

                                6.1 ค่า x ที่ทำให้  มีค่าน้อยที่สุดเราจะเรียกว่า ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

                                6.2 ค่า x ที่ทำให้  มีค่ามากที่สุดเราจะเรียกว่า ค่าสูงสุดสัมบูรณ์

                                6.3 จะต้องนำค่าบนช่วงปิดที่กำหนดให้มาแทนค่าลงใน  ด้วย

 

เช่น จงหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดจาก  บนช่วง

**จากโจทย์จะเห็นว่าได้ระบุช่วงใดๆ มาให้ ให้เราแบบค่าสูงสุด ต่ำสุดสัมบูรณ์**

หา

                กำหนดให้       จะได้ว่า

               =             0

            =             0

  =             0

\ ค่าวิกฤติคือตำแหน่งที่ x =

 

นำค่าวิกฤติที่ได้ มาแทนค่าลงใน

 

 

แทนค่าของช่วงที่กำหนดมาให้

 

 

จะเห็นว่าที่ตำแหน่ง x = 3 ค่าของฟังก์ชันเป็น 19 คือค่าสูงสุดสัมบูรณ์ 

จะเห็นว่าที่ตำแหน่ง x = 1 ค่าของฟังก์ชันเป็น -3 คือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

อนุพันธ์อันดับสอง ( Second Derivative )

                สามารถนำมาใช้ประยุกต์เพื่อหาค่าต่างๆ

-         ความโค้งเว้าของกราฟของฟังก์ชัน

-         ทดสอบหาค่าสูงสุดต่ำสุดได้

 

การทดสอบความโค้งเว้าของกราฟของฟังก์ชัน

ขั้นตอนในการทดสอบความโค้งเว้าของกราฟ โดยการประยุกต์จากการใช้อนุพันธ์อันดับสองคือ

                1. หาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน              หรือ

                2. นำค่า  หรือ  เท่ากับศูนย์

                3. หาคำตอบของสมการ  หรือ

                4. ค่าของคำตอบที่ออกมาของค่า x คือ จุดเปลี่ยนเว้า

                5. จากนั้นนำค่าบริเวณใกล้เคียงกับค่าจุดเปลี่ยนเว้ามาแทนค่า

                                5.1  แสดงว่าเป็นกราฟหงาย หรือ concave up

                                                          

กราฟหงายในลักษณะเป็นฟังก์ชันลด

                                                         และ       

 

                                                          

กราฟหงายในลักษณะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม

         และ                                 


 

การทดสอบหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด

ขั้นตอนในการทดสอบหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด โดยการประยุกต์จากการใช้อนุพันธ์อันดับสองคือ

            1. หาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน               หรือ

                2. นำค่า  หรือ  เท่ากับศูนย์

                3. หาคำตอบของสมการ  หรือ

                4. ค่าของคำตอบที่ออกมาของค่า x คือค่าวิกฤติ หรือ Critical Value

                5. หาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน              หรือ

                6. นำค่าวิกฤติไปแทนลงใน  หรือ  ให้สังเกตดังนี้

                                6.1 ถ้าค่าของ  หรือเป็นจำนวนจริงบวก แสดงว่า เป็นค่าต่ำสุด เพราะเนื่องมาจากกราฟมีลักษณะหงาย

                                6.2 ถ้าค่าของ  หรือเป็นจำนวนจริงลบ แสดงว่า เป็นค่าสูงสุด เพราะเนื่องมาจากกราฟมีลักษณะคว่ำ

 

เช่น        กำหนดให้  จงหาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดโดยการใช้อนุพันธ์อันดับสองเป็นวิธีในการทดสอบ

 

หา                    จากนั้นกำหนดให้

                            =             0

                         =             0

               =             0

 \ ค่าวิกฤติที่เกิดขึ้นคือ x = 0 , 1 , -1

 

จากนั้นหา

ต่อมานำค่าวิกฤติมาแทนค่าลงใน

      ซึ่ง  ที่ตำแหน่งที่ x = 0 คือค่าสูงสุดสัมพัทธ์

    ซึ่ง  ที่ตำแหน่งที่ x = -1 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

            ซึ่ง  ที่ตำแหน่งที่ x = 1 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์


การวาดกราฟของฟังก์ชันโดยการประยุกต์ใช้อนุพันธ์

                มีขั้นตอนดังนี้

  1. หาช่วงที่ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด
  2. หาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
  3. หาความโค้งเว้าของกราฟ พร้อมทั้งหาจุดเปลี่ยนเว้า
  4. นำข้อมูลทั้งหมดมาสร้างเป็นกราฟ

 

เช่น        จงวาดกราฟโดยใช้อนุพันธ์ของ

1.            หา     กำหนดให้

                             =             0

                           =             0

                =             0

                \ ค่าวิกฤติของฟังก์ชันนี้คือ -2 , 2

 

                แทนค่าเพื่อหาค่าความชัน

                               ซึ่ง  จึงเป็นฟังก์ชันเพิ่ม

                                    ซึ่ง  จึงเป็นฟังก์ชันลด

                                     ซึ่ง  จึงเป็นฟังก์ชันเพิ่ม

-2

2

+

+

-

 

 

 

 


2.            หาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

               

 

 

3.            หาค่าความโค้งเว้าของกราฟ และจุดเปลี่ยนเว้า

               

                หาความโค้งเว้า              ซึ่ง  ดังนั้นกราฟจึงคว่ำ

                                                                    ซึ่ง  ดังนั้นกราฟจึงหงาย

               


หาจุดเปลี่ยนเว้า โดยกำหนดให้

                               

                                \ จุดเปลี่ยนเว้าของกราฟนี้คือจุดที่ x = 0

 

4.            นำข้อมูลทั้งหมดมาเขียนกราฟ

               

 

 

-2

 

0

2

 

 

X

11

X

-5

X

-21

X

 

+

X

-

X

-

X

+

 

-

X

-

X

+

X

+

กราฟ

 

X

 

X

 

X

 

 

5.            นำข้อมูลที่ได้มาวาดกราฟ

                                5.1 ให้ลงจุดของ  ทั้งหมดก่อน

                                5.2 ให้นำข้อมูลจากช่องสุดท้ายมาวาดตามลักษณะดังกล่าวแบบคร่าวๆ

 


การแก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดโดยการประยุกต์ใช้อนุพันธ์

  1. อ่านโจทย์และทำความเข้าใจกับโจทย์ แล้วทำการสร้างตัวแปรที่เราไม่ทราบค่า
  2. นำตัวแปรที่ไม่ทราบค่าทั้งหมดมาสร้างเป็นสมการในรูปของตัวแปรเพียงตัวแปรเดียว

 นั้นเอง

  1. นำสมการในรูปของ  นั้นไปหาอนุพันธ์
  2. แล้วหาค่าวิกฤตินั้นโดยการกำหนดให้
  3. จากนั้นนำค่าวิกฤตินั้นไปวิเคราะห์เพื่อหาคำตอบของโจทย์นั้น

 

เช่น       

1     จำนวนเต็มบวกสองจำนวนซึ่งบวกกันได้ 10 จะสามารถมีผลคูณได้มากที่สุดเท่าไหร่

 

  1. ตัวแปรที่เราไม่ทราบนั้นมีสองตัวคือ  และ  ซึ่ง + =10
  2. แต่โจทย์ต้องการหาว่าผลคูณของทั้งสองจำนวนนั้นมีค่ามากที่สุดเท่าไหร่

เราจึงต้องสร้างฟังก์ชันได้ดังนี้

         แต่ในที่นี้เราจะแทนค่า  ด้วย 10 -

 และเราสามารถเปลี่ยนให้  เสมือนเป็นตัวแปร x ได้เลย

 

  1. หาค่า
  2. กำหนดให้               คือ          

 

  1. จะเห็นว่าค่าของ x ที่ออกมาคือค่าวิกฤติที่ทำให้เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์เนื่องมาจาก

 

ซึ่งค่า x = 5 นั้นคือค่าของตัวเลขที่บวกกันได้ 10 ดังนั้นจำนวนอีกจำนวนหนึ่งก็คือ 5

ดังนั้นค่าของ

                \ ผลคูณสูงสุดของสองจำนวนนั้นคือ 25


2. ชาวสวนปลูกส้ม 20 ต้นต่อพื้นที่ 1 ตารางกิโลเมตร ซึ่งจะได้ผลผลิต 60 ผลต่อหนึ่งต้น แต่การปลูกส้มนั้นมีเงื่อนไขคือ ถ้าทำการปลูกส้มเพิ่ม 1 ต้นต่อพื้นที่ 1 ตารางกิโลเมตรแล้วจะทำให้ผลผลิตลดลง 2 ผลต่อต้น จงหาว่าจะต้องปลูกส้มกี่ต้นจึงทำให้ชาวสวนมีผลผลิตมากที่สุด และหากส้มสามารถขายได้ในราคาลูกละ 2 บาทชาวสวนจะมีรายได้เท่าไหร่

 

  1. จากโจทย์จะเห็นว่าเงื่อนไขเกิดการปลูกส้มเพิ่มเป็นจำนวนเท่าไหร่ ผลส้มก็จะมีจำนวนลดลงตามไปด้วย ดังนั้นจึงกำหนดให้ จำนวนของต้นส้มที่เพิ่มขึ้นเป็น x ต้น ดังนั้นจำนวนผลส้มก็จะลดลง 2x ผลต่อต้นด้วย

สิ่งที่โจทย์ต้องการหาคือ จำนวนผลส้มที่มากที่สุด เราจึงสมมติให้ฟังก์ชันคือจำนวนของผลส้ม คือ จำนวนต้นส้มที่ปลูก จำนวนผลส้มที่ปลูกต่อต้น

\          จำนวนต้นส้มที่ปลูก ซึ่งจากเดิมปลูกอยู่ 20 ต้น แล้วปลูกเพิ่มไป x ต้น

                จำนวนต้นส้มที่ปลูกจะคือ 20+x

และจำนวนผลส้มที่ปลูกต่อต้นซึ่งจากเดิมคือ 60 ลูกต่อต้น ซึ่งหากปลูกเพิ่ม x ต้น ผลส้มก็จะลดลงเป็น 2x

จำนวนผลส้มที่ปลูกต่อต้นจะคือ 60-2x

ดังนั้น

 

  1. หา

   

 

  1. กำหนดให้  หรือ

20 -4x                   =             0

4x                           =             20

x                              =             5

ดังนั้นค่าวิกฤติของฟังก์ชันนี้คือ x = 5

 


  1. นำค่าที่ได้มาวิเคราะห์จะเห็นว่าค่า x ที่ออกมานั้นคือ จำนวนต้นส้มที่ชาวสวนปลูกเพิ่มขึ้นมาแต่โจทย์ถามว่าชาวสวนต้องปลูกส้มทั้งหมดกี่ต้นนั้นก็หมายถึง

20 + 5 = 25 ต้นนั้นเอง

 

และต่อมาถามว่าจะมีรายได้จากการขายส้มเท่าไร ถ้าส้มขายได้ลูกละ 2 บาท

จะเห็นว่าถ้าชาวนาปลูกส้มเพิ่ม 5 ต้น จะทำให้ผลส้มลดลง 10 ลูกต่อต้นนั้นเอง

ดังนั้นผลส้มต่อต้นก็จะเป็น 60 – 10 =50 ต่อต้น และเมื่อชาวสวนปลูกทั้งหมด 25 ต้นจะทำให้ชาวสวนได้ผลผลิตทั้งหมด  ผลเมื่อนำไปขายผลละ 2 บาทก็จะได้

 บาทนั้นเอง

 

\ชาวสวนจะต้องปลูกส้มทั้งหมด 25 ต้นจึงจะมีรายได้สูงสุด

      และเมื่อนำไปขายแล้วจะได้เงินเป็นจำนวน 2500 บาท


http://www.google.co.th/search?q=%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&hl=th&prmd=ivnsfd&ei=B6vDTsSaI9CGrAeIjb3kCw&start=180&sa=N

รูปภาพที่เกี่ยวข้อง

ติชม


ต้องการให้คะแนนบทความนี้่ ?

สร้างโดย :


suchatbuild

สถานะ : ผู้ใช้ทั่วไป
การก่อสร้าง