บทความแคลคูลัส





แคลคูลัส(Calculus)

 

  1. X ® a

     
    ลิมิตของฟังก์ชัน  เขียนแทนด้วย    lim   f(x)  =  L

 

หมายถึง  x มีค่าเข้าใกล้ a  (x ® a)  แล้ว  f(x) จะมีค่าเข้าใกล้ L

 

      วิธีหา  ค่าลิมิตของฟังก์ชัน

(1).       เอาค่า a ไปแทนใน x ใน f(x) ถ้าผลที่ได้เป็นจำนวนจริงค่านั้นคือ ค่าลิมิต

(2).       เอาค่า a ไปแทนใน x ใน f(x)แล้วปรากฏผลออกมาในรูป

                          ให้พิจารณาลักษณะของฟังก์ชัน ดังนี้

(2.1)                      ถ้าสามารถแยก f(x) ออกเป็นผลคูณของตัวประกอบได้ ก็ให้แยกแล้วขจัดตัวประกอบร่วมของเศษและส่วนออก หลังจากนั้นก็เอาค่า a ไปแทน x ถ้าผลที่ได้เป็นจำนวนจริง ค่านั้นคือค่าลิมิต

(2.2)                      ถ้าแยกตัวประกอบไม่ได้ เนื่องจาก f(x) มักอยู่ในรูป

ก็ให้นำคอนจูเกตคูณทั้งเศษและส่วน  แล้วขจัดตัวประกอบที่ทำให้ส่วนเป็นศูนย์ออก  หลังจากนั้นก็เอาค่า a ไปแทน x ถ้าผลที่ได้เป็นจำนวนจริง ค่านั้นคือค่าลิมิต

2.  ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน    ในทางคณิตศาสตร์ตรวจสอบว่า f จะต่อเนื่องที่

x = a หรือไม่นั้น  ต้องตรวจสอบจากคุณสมบัติ  3  ข้อต่อไปนี้

  1. หา f(a)  ได้

 

x® a

 

            2.   lim f(x)   หาค่าได้

 

 

x® a

 

3.  lim f(x)  =  f(a)

 

 

 

3.  อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ย ของ y  หรือ f(x)  ในช่วง x1  ถึง x1+h   คือ

                                                f(x1-h) - f(x1)

                                                              h

 

4. อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y = f(x) ณ x = x1

 

 

h®0

 

            lim  f(x+h) - f(x)   คือ อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y = f(x) ณ x ใด ๆ

                           h

 

  1. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f   แทนด้วย  f /(x)  หรือ  dy/dx

 

h®0

 

ถ้า  y = f(x)   เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจำนวนจริงเราเรียก lim         f(x+h) - f(x)   ที่หาได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x

             h

  1. สูตรในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สูตรที่ 1.    ถ้า y = f(x) = c  เป็นค่าคงที่     dy/dx  = f/(x)  = 0

สูตรที่ 2.    ถ้า y = f(x) = x                         dy/dx  = f/(x)  = 1

สูตรที่ 3.    ถ้า y = f(x) = xn  เมื่อ n เป็นจำนวนจริง           dy/dx  = f/(x)  =nxn-1

สูตรที่ 4.    ถ้า y = f(x) = g(x) + h(x)                     dy/dx  = g/ (x) + h/ (x)

สูตรที่ 5.    ถ้า y = f(x) = g(x) - h(x)                      dy/dx  = g/ (x) - h/ (x)

สูตรที่ 6.    ถ้า y = f(x) = cg(x)                              dy/dx  = cg/ (x)

สูตรที่ 7.    ถ้า y = f(x) = g(x) h(x)             dy/dx  = g/(x)h(x)+h/ (x)g(x)

สูตรที่ 8.    ถ้า y = f(x) =     g(x)      เมื่อ h(x) ¹ 0

                                           h(x)

            dy/dx  = g/(x)h(x) - h/(x)g(x)

                                                                    h(x)   2

สูตรที่ 9.          ถ้า y = f(x) = un  เมื่อ u เป็นฟังก์ชันของ x และ n เป็นจำนวนจริงจะได้ว่า    dy/dx  = nun-1 du/dx

 

      ตัวอย่าง  ถ้า   f(x) = (x2 + 3x + 5)  จงหาค่าของ dy/dx

      วิธีทำ                     dy/dx  =  8(x2 + 3x + 5)7  d (x2 + 3x + 5)

                                                                                      dx

                                                =  8(x2 + 3x + 5)7(2x+3)

  1. วิธีหาค่าจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

7.1                            หา  dy/dx  =  f/(x)

7.2                            ให้ dy/dx  =  f/(x)  =  0

7.3                            แก้สมการหาค่าตัวแปร  x  ที่จะทำให้ f(x)  มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์  หรือไม่เกิดค่า 2 อย่างดังกล่าวก็ได้  เราเรียกค่า x นี้ว่า   ค่าวิกฤต

7.4                            นำค่า x ดังกล่าวนี้มาตรวจสอบว่าทำให้ f(x) มีค่าสูงสุด หรือต่ำสุดสัมพัทธ์ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง ซึ่งมีวิธีการตรวจสอบได้ 2 วิธีดังนี้

(1)                              ตรวจสอบดูจากเครื่องหมายความชัน

ก.     ถ้าความชัน f/(x)  เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ แสดงว่าจุดดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์

ข.     ถ้าความชัน f/(x)  เปลี่ยนจากลบเป็นบวก แสดงว่าจุดดังกล่าวเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

ค.     ถ้าไม่เป็นไปตามข้อ ก  หรือ  ข  แสดงว่าจุดดังกล่าวไม่เป็นทั้งจุดสูงสุดและต่ำสุดสัมพัทธ์

(2)                              ตรวจสอบดูจากเครื่องหมายของ  f//(x)

ก.  ถ้า f//(x) > 0   แสดงว่าเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

ข.  ถ้า f//(x) < 0   แสดงว่าเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์

ค.  ถ้า f//(x) = 0   แสดงว่าการตรวจสอบวิธีนี้ใช้ไม่ได้4 ต้องย้อนกลับไปใช้วิธี(1)

http://www.tutormaths.com/mathapa15.doc

รูปภาพที่เกี่ยวข้อง

ติชม


ต้องการให้คะแนนบทความนี้่ ?

สร้างโดย :


Yeanuou

สถานะ : ผู้ใช้ทั่วไป
การก่อสร้าง