แคลคูลัส

บทความแคลคูลัส  www.neutron.rmutphysics.com

เทคนิคการอินทิเกรต 

 

การอินทิเกรตแบบแบ่งส่วน (Integration by part)

เราจะใช้เทคนิคนี้ในกรณีที่ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณของฟังก์ชัน

จาก                                                        

อินทิเกรตทั้งสองข้างจะได้               

 


ดังนั้น                                   

 

 

การแยกเป็นเศษส่วนย่อย (Partial Fractions)

การหาเศษส่วนย่อย 

พิจารณา  เมื่อ P(x) และ Q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม ซึ่งอันดับของ P(x) น้อยกว่าอันดับของ Q(x) หากอันดับของ P(x) มากกว่าอันดับของ P(x) ให้นำ Q(x) ไปหาร P(x) ก่อน

 

กรณีที่ 1 ถ้าฟังก์ชัน Q(x) สามารถแยกออกเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้ดังนี้

Q(x) = (x – a1)(x – a2)…(x – an) เมื่อ ai ¹ aj สำหรับ i ¹ j

ในกรณีนี้เราจะเขียน

เมื่อ Ai (i=1, 2, … , n) เป็นตัวคงค่า การหาตัวคงค่าจะใช้วิธีเทียบสัมประสิทธิ์ เช่น

 

 

กรณีที่ 2 ถ้าฟังก์ชัน Q(x) สามารถแยกออกเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้ดังนี้

Q(x) = (x – a1)(x – a2)…(x – an) โดยที่ ai บางค่าซ้ำกัน เช่น

(i)

 

(ii)

 

(iii)

 

 

กรณีที่ 3 ฟังก์ชัน Q(x) สามารถเขียนให้อยู่ในรูปตัวประกอบเชิงเส้นและกำลังสองที่แยกต่อไปไม่ได้เช่น

(i)

 

(ii)

 

(i)  

 

ถ้าเป็น x2 ให้มองเป็น (x – 0)2 แล้วแยกตามกรณีที่ 2

 

กรณีที่ 4 ฟังก์ชัน Q(x) มีตัวประกอบเป็นฟังก์ชันพหุนามกำลังสองที่อยู่ในรูป

Q(x) = (x2 + bx + c)n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะเขียน

 

 

 

การแทนด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric Substitutions)

เมื่อตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูป  โดยที่ a > 0

กรณีที่ 1

ถ้า ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูป  แล้วเราจะแทน  เมื่อ

จะได้     

 

กรณีที่ 2

ถ้า ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูป  แล้วเราจะแทน  เมื่อ

จะได้     

 

กรณีที่ 3

ถ้า ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูป  แล้วเราจะแทนเมื่อหรือจะได้     

รูปภาพที่เกี่ยวข้อง

ติชม


ต้องการให้คะแนนบทความนี้่ ?

สร้างโดย :


Muka_Alice

สถานะ : ผู้ใช้ทั่วไป
เครื่องกล