วิทยาลัยเทคนิคสัตหีบ

ตรีโกน

แคลคูลัสกับตรีโกณมิติ

Victor  J.  Katz  ผู้ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์รับเชิญของ MAA (Mathematical Association of America: ผู้แปล) ในระหว่างปีการศึกษา 2537 – 2538 ได้ไปบรรยายที่มหาวิทยาลัย District of Columbia  ตำราของเขาซึ่งมีชื่อว่า  “ประวัติของวิชาคณิตศาสตร์: ความรู้เบื้องต้น”  นั้นได้รับการตีพิมพ์โดยสำนักพิมพ์  HarperCollins ในปี ค.ศ.1993

คำถามที่ว่าทำไมอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์จึงมีค่าเท่ากับฟังก์ชันโคไซน์ล่ะ?  หรือคำถามที่ว่าเพราะเหตุใดอนุพันธ์ของฟังก์ชันแทนเจนต์จึงมีค่าเท่ากับฟังก์ชันเซคแคนต์ยกกำลังสองล่ะ?  คำตอบหนึ่งซึ่งคุณได้เรียนรู้มาแล้วในวิชาแคลคูลัสก็คือกฎต่างๆ เหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้  ในความเป็นจริงแล้วครูของคุณอาจจะพิสูจน์คำถามแรกได้จากบทนิยามของอนุพันธ์ก็ได้และนั่นก็ทำให้คุณมั่นใจได้ว่า $\lim_{x{\rightarrow}0}(\frac{sinx}{x})$ = 1

และเราสามารถพิสูจน์คำถามที่สองได้โดยการใช้กฎอนุพันธ์ของผลหาร แต่ทว่าหลังจากนี้เราจะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติในเชิงเรขาคณิตกัน ซึ่งจะทำให้คุณเข้าใจเรื่องราวของอนุพันธ์ในเชิงเรขาคณิตได้ดียิ่งขึ้น และถ้าเราย้อนกลับไปพิจารณาประวัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติเหล่านี้กับความสัมพันธ์ของประวัติวิชาแคลคูลัสก็จะทำให้คุณเข้าใจได้เช่นเดียวกัน

ทุกวันนี้ เรามักพิจารณาฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวอื่นๆ เป็นฟังก์ชันเชิงตัวเลข (numerical functions) ของจำนวนจริงซึ่งค่าในโดเมนนั้นอาจพิจารณาในแง่ของการวัดมุมก็ได้ แต่จนกระทั่งถึงยุคของออยเลอร์ในช่วงกลางศตวรรษที่ 18  ค่าฟังก์ชันไซน์ถูกพิจารณาให้เป็นกลุ่มของเส้นตรงคงที่ในวงกลมซึ่งมีรัศมีตามที่กำหนดให้ ซึ่งเส้นตรงนั้นไม่ได้เกี่ยวข้องกับค่ามุมแต่เกี่ยวข้องกับค่าอาร์คนั่นเอง  (นั่นคือ  เทอมของอาร์คไซน์จึงมีค่าเท่ากับ อาร์คของค่าไซน์ที่กำหนดให้สำหรับฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันไซน์)  ดังนั้น จากรูปด้านบน คุณจะเห็นว่าเรามี  y = sin t  เมื่อ t  เป็นการวัดค่าอาร์คและเพื่อความสะดวกในการพิจารณา เราให้รัศมีของวงกลมนี้เท่ากับ 1 หน่วย ในทำนองเดียวกันเราได้ว่า  x = cos t

สมมติว่าเราต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์เมื่อเทียบกับอาร์ค  ซึ่งในช่วงศตวรรษที่ 18  การทำแบบนี้หมายความว่าเราจะหาอัตราส่วนของความเปลี่ยนแปลงที่มีค่าน้อยมากของ y = sin t เมื่อเทียบกับค่า t ซึ่งน้อยมากเช่นกัน ดังนั้น ความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากของค่าอาร์ค t สามารถแทนได้ด้วยการวาดรูปเส้นสัมผัสวงกลมซึ่งมีค่าน้อยมากไปยังวงกลมที่จุดปลายอาร์คของ t ถ้าเราพิจารณาว่าแทนเจนต์ดังกล่าวเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากทางขวามือ ดังนั้น เส้นดิ่งนี้จะแทนด้วย dy ซึ่งแทนความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากของค่าไซน์ แต่เนื่องจากสามเหลี่ยมเล็กๆ รูปนี้คล้ายกับสามเหลี่ยมรูปใหญ่  โดยกฎของความคล้าย เราสามารถแสดงได้ว่า $\frac{dy}{dt}$ = $\frac{x}{1}$ หรือเขียนได้อีกรูปหนึ่งว่า $\frac{d}{dt}(sint)$ = cost นั่นเอง

ค่าอาร์กิวเมนต์เชิงเรขาคณิตซึ่งให้ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์และแทนเจนต์ดังกล่าวนี้ปรากฏเป็นครั้งแรกในการตีพิมพ์ซึ่งเกิดขึ้นหลังจากการถึงแก่กรรมของ Roger  Cotes  (1682 – 1716) ผู้ซึ่งเป็นบรรณาธิการในการพิมพ์ครั้งที่ 2 ของ Newton’s Principia และสำหรับการปรากฏตัวของอาร์กิวเมนต์ดังกล่าวในตำราวิชาแคลคูลัสเป็นครั้งแรกนั้นคือในหนังสือที่ชื่อ A New Treatise of Fluxions (1737) โดย Thomas Simpson  (1710 – 1761) ผู้ซึ่งมีชื่อเสียงมาจนทุกวันนี้จากกฎของ Simpson สำหรับการหาค่าอินทิกรัลเชิงตัวเลขโดยการประมาณแบบพาราโบลา  Simpson ผู้นี้เป็นหนึ่งในกลุ่มของครูเอกชนในประเทศอังกฤษซึ่งได้พบกับความต้องการที่เพิ่มพูนขึ้นของชั้นเรียนระดับกลางในวิชาคณิตศาสตร์  เอกสารตำราดังกล่าวทำให้ Simpson ได้เป็นสมาชิกในสมาคมคณิตศาสตร์แห่ง Spitalfields  ซึ่งกฎของ  Simpson นั้นได้รับการพิจารณาอย่างกว้างขวางจากสมาชิกทุกคน  “เขาจะถูกถามคำถามใดๆ ในเชิงคณิตศาสตร์หรือในเชิงปรัชญาโดยสมาชิกท่านอื่นๆ เพื่อที่จะชี้แนะเขาในลักษณะที่เรียบง่ายและสะดวกที่สุดเท่าที่จะทำได้”

แม้ว่าจะไม่ใช่ทั้ง Newton และ Leibniz ที่ได้พิจารณาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่พวกเขาก็มีส่วนในการคิดค้นอนุกรมกำลังและสมการเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น Leibniz ใช้รูปภาพเดียวกันนี้กับรูปสามเหลี่ยมเชิงอนุพันธ์เพื่อสรุปว่า   dy^2+dx^2 = dt^2   หรือสรุปว่า  เนื่องจาก x = $\sqrt{1-y^2}$ และ dx = $y(\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}})$ ก็จะได้ว่า dy^2+y^2dt^2 = dt^2

สมมติว่า dt คือ การเพิ่มขึ้นอย่างคงที่  ดังนั้น อนุพันธ์นี้จึงมีค่าเท่ากับ 0 ซึ่ง Leibniz ได้ประยุกต์ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์  d  ซึ่งเขาคิดขึ้นนั้นทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ว่า d(dy^2+y^2dt^2) = 0 และโดยการใช้กฎอนุพันธ์ของผลคูณทางซ้ายของสมการรวมทั้งการจัดรูปให้ง่ายขึ้น ทำให้ได้ว่า 2dy(ddy)+2ydydt^2 = 0 หรือได้ว่า d^2y+ydt^2 = 0 หรือในที่สุดถ้าเขียนในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยกันดีของ y = sin t ก็จะได้ว่า $\frac{d^2y}{dt^2}$ =  โปรดสังเกตว่าวิธีการปรับรูปแบบให้เหมาะสมของ Leibniz กับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองนั้นได้กำหนดตัวเลข 2 ไว้คล้ายคลึงกับเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองในยุคปัจจุบัน

แม้ว่าอาร์กิวเมนต์ซึ่งใช้การเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากนี้จะถูกแทนที่ด้วยอาร์กิวเมนต์ซึ่งใช้ลิมิตในช่วงก่อนศตวรรษที่ 19 แต่คุณค่าในแง่ที่ช่วยในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการศึกษาวิชาแคลคูลัสก็ยังคงอยู่เหมือนเดิม และในทศวรรษล่าสุด งานของ Abraham Robinson เกี่ยวกับการวิเคราะห์ความไม่เป็นมาตรฐานได้แสดงให้เห็นว่าอาร์กิวเมนต์เหล่านี้สามารถปรับปรุงให้เป็นมาตรฐานที่มั่นคงได้ อาร์กิวเมนต์ที่มั่นคงนี้แม้ว่าประวัติของแนวคิดหลักจำนวนมากเกี่ยวกับวิชาแคลคูลัสได้ช่วยให้เราพัฒนาความรู้ที่เกิดขึ้นเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานของวิชานี้ ความเข้าใจอันนี้เป็นเรื่องจำเป็นสำหรับพวกเราที่จะนำเทคนิคเหล่านี้ไปใช้ในการแก้ปัญหาต่อไป

*แปลโดย Koalar ซึ่งนำต้นฉบับมาจาก     www.learner.org