Thai-Austrian Technical College : วิทยาลัยเทคนิคสัตหีบ

บทความแคลคูลัส

แคลคุลัส เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนามาจากพีชคณิตและเรขาคณิต เกิดจากการรวมกันของสองแนวคิดหลัก แนวคิดแรกคือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus) คือทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการอนุพันธ์ซึ่งพูดถึงฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์, ความเร็ว, ความเร่ง และความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้ แนวคิดที่สองคือ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) เกี่ยวข้องกับแนวคิดในการอินทิเกรต และใช้แนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับพื้นที่ที่ล้อมด้วยกราฟของฟังก์ชัน และแนวคิดเกี่ยวกับปริมาตร

จากสองแนวคิดนี้ทำให้เกิด ฟังก์ชันอินเวอร์ส ซึ่งอธิบายด้วย ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส เพราะฉะนั้น ในการสอนแคลคูลัสควรกล่าวถึงทั้งสองอย่างนี้ก่อน แต่การศึกษาในปัจจุบันมักจะกล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก่อน

ประวัติ (History)
ต้นกำเนิดของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ย้อนไปถึงยุคกรีกโบราณ ยูโดซัส มักจะเป็นที่รู้จักกันในนามของผู้ที่ค้นพบ� Method ofExhaustion ซึ่งทำให้สามารถคำนวณหาพื้นที่และปริมาตรได้ อาร์คิมิดิส ได้พัฒนาวิธีการนี้ต่อ และได้พัฒนาวิธีการช่วยคำนวณซึ่งคล้ายคลึงกับแนวคิดในปัจจุบันด้วย ไลบ์นิซ และ นิวตัน มักจะได้รับการยอมรับว่าเป็นผู้ที่คิดค้นแคลคูลัสขึ้นมา โดยเฉพาะการค้นพบทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส มีการโต้เถียงกันว่านิวตันหรือไลบ์นิซเป็นผู้ที่ค้นพบแนวคิดหลักของแคลคูลัสก่อน ความจริงนั้นไม่มีใครรู้ได้ สิ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่ไลบ์นิซได้พัฒนาให้กับแคลคูลัสคือเครื่องหมายของเขา เขามักจะใช้เวลาเป็นวันๆนั่งคิดถึงสัญลักษณ์ที่เหมาะสมที่จะแทนที่แนวคิดทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การโต้เถียงกันระหว่างไลบ์นิซและ นิวตัน ได้แบ่งแยกนักคณิตศาสตร์ที่พูดภาษาอังกฤษออกจากนักคณิตศาสตร์ในยุโรปเป็นเวลานานหลายปี ซึ่งทำให้คณิตศาสตร์ในอังกฤษล้าหลังกว่ายุโรปเป็นเวลานาน เครื่องหมายที่นิวตันใช้นั้นคล่องตัวน้อยกว่าของ ไลบ์นิซอย่างเห็นได้ชัด แต่ก็ยังใช้กันในอังกฤษจน Analytical Society ได้ใช้เครื่องหมายของไลบ์นิซในศตวรรษที่ 19 ตอนต้น สันนิษฐานกันว่านิวตันค้นพบแนวคิดเกี่ยวกับแคลคูลัสก่อน แต่อย่างไรก็ตาม ไลบ์นิซเป็นผู้ที่เผยแพร่ก่อนทุกวันนี้เป็นที่เชื่อกันว่าทั้งนิวตันและไลบ์นิซต่างก็ค้นพบแคลคูลัสด้วยตนเองผู้ที่ได้ชื่อว่าเป็นผู้พัฒนาวิชาแคลคูลัสนอกจากนี้คือ Barrow, Descartes, de Fermat, Huygens และ Wallisโดยเฉพาะ de Fermat ซึ่งบางครั้งได้รับการยกย่องว่าเป็น บิดาแห่งแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น Kowa Sekiมีชีวิตอยู่ในช่วงเวลาเดียวกันกับ ไลบ์นิซ และนิวตัน และยังค้นพบหลักการพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ แต่เขาไม่เป็นที่รู้จักในโลกตะวันตกในขณะนั้น และเขาก็ไม่ได้ติดต่อกับนักวิชาการชาวตะวันตกเลย

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus)อนุพันธ์ (derivative) คือการหาค่าความเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหนึ่ง เมื่ออีกตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่น้อยมากๆ บางทีอนุพันธ์ที่จะได้พบครั้งแรกในโรงเรียนคือสูตร อัตราเร็ว=ระยะทาง/เวลาสำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ อัตราเร็วของคุณซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่บอกการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งในระยะเวลาหนึ่ง วิชาแคลคูลัสพัฒนาขึ้นเพื่อจัดการกับปัญหาที่ซับซ้อนและเป็นธรรมชาติกว่านี้ ซึ่งอัตราเร็วของคุณอาจเปลี่ยนแปลงได้

เมื่อเรากล่าวถึงรายละเอียดแล้ว แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง (อนุพันธ์) ระหว่างค่าของฟังก์ชัน กับตัวแปรของฟังก์ชัน นิยามจริงๆของอนุพันธ์คือลิมิตของอัตราส่วนในการปลี่ยนแปลง อนุพันธ์คือหัวใจของวิทยาศาสตร์กายภาพ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน แรง=มวล x ความเร่ง มีความหมายในแคลคูลัส เพราะว่า ความเร่งเป็นอนุพันธ์ค่าหนึ่ง ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวล และทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ (สัมพัทธภาพทั่วไป) นั่นได้กล่าวถึงด้วยภาษาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ เช่นเดียวกันกับทฤษฎีพื้นฐานของวงจรไฟฟ้า

อนุพันธ์ของฟังก์ชันกล่าวถึงกราฟของฟังก์ชันนั้นในช่วงสั้นๆ ซึ่งทำให้เราสามารถหาจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดของฟังก์ชันได้ เพราะว่าที่จุดเหล่านั้นกราฟจะขนานกับแกนราบ ดิเฟอเรนเชียล แคลคูลัสยังมีการประยุกต์ใช้อื่นๆอีก เช่น ระเบียบวิธีของนิวตัน ซึ่งเป็นวิธีในการหาค่ารากของฟังก์ชันโดยการประมาณค่าโดยเส้นสัมผัส ดังนั้นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จึงสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับหลากหลายคำถามซึ่งถ้ามองแค่ผิวเผินอาจไม่คิดว่าไม่อาจใช้แคลคูลัสจัดการได้

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus)
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ศึกษาวิธีการหาปริพันธ์ ( อินทิกรัล,Integral ) ของฟังก์ชัน ซึ่งอาจนิยามจากลิมิตของผลรวมของพจน์(ซึ่งเรียกว่าลิมิตของผลรวมรีมันน์) แต่ละพจน์นั้นคือพื้นที่ที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละแถบใต้กราฟของฟังก์ชัน ทำให้การอินทิเกรตเป็นวิธีที่ได้ผลวิธีหนึ่งในการหาพื้นที่ใต้กราฟ และพื้นที่ผิว และปริมาตรของแข็งเช่นทรงกลมและทรงกระบอก

พื้นฐานของแคลคูลัส (Foundation)
พื้นฐานที่เคร่งครัดของแคลคูลัสมีฐานมาจากแนวคิดของฟังก์ชันและลิมิต มันรวมเทคนิคของพีชคณิตพื้นฐานและการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ การศึกษาพื้นฐานของแคลคูลัสสมัยใหม่รู้จักกันในชื่อการวิเคราะห์เชิงจริง ซึ่งประกอบด้วยนิยามที่เคร่งครัดและบทพิสูจน์ของทฤษฎีของแคลคูลัส เช่นทฤษฎีการวัด และการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส (Fundamental theorem of calculus)
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่าการหาอนุพันธ์ และการหาปริพันธ์นั้น เป็นวิธีการกลับกัน ถ้ากล่าวโดยละเอียดแล้ว ปฏิยานุพันธ์สามารถคำนวณได้ด้วยการหาปริพันธ์จำกัดเขตความจริงข้อนี้ปรากฏแก่ทั้งนิวตันและไลบ์นิซ ซึ่งเป็นกุญแจนำไปสู่การขยายผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์อย่างมากมายหลังจากงานของทั้งสองเป็นที่รู้จัก ความเชื่อมโยงนี้ทำให้เราสามารถย้อนความเปลี่ยนแปลงทั้งหมดในฟังก์ชันในช่วงหนึ่งจากอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง โดยการหาปริพันธ์ของส่วนหลัง ทฤษฎีบทมูลฐานนี้ยังให้วิธีในการคำนวณหาปริพันธ์จำเขตด้วยวิธีทางพีชคณิตเป็นจำนวนมาก โดยไม่ต้องใช้วิธีการหาลิมิต ด้วยการหาปฏิยานุพันธ์ทฤษฎีบทนี้ยังอนุญาตให้เราแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งคือสมการที่เกี่ยวข้องกันระหว่าง ฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า และอนุพันธ์ของมัน
สมการเชิงอนุพันธ์นั้นมีอยู่ทั่วไปในวิทยาศาสตร์
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส 1: อนุพันธ์(ปริพันธ์(f(x))) ในเทอมของ x คือ x
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส 2: ปริพันธ์(f(x)) เมื่อ b เป็นขอบเขตบน และ a เป็นขอบเขตล่าง จะเท่ากับ F(b)-F(a) เมื่อF(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x)

การประยุกต์ใช้ (Application)
การพัฒนาและการใช้แคลคูลัสได้ขยายผลไปแทบทุกส่วนของการใช้ชีวิตในยุคใหม่ มันเป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์เกือบทุกสาขาโดยเฉพาะ ฟิสิกส์ การพัฒนาสมัยใหม่เกือบทั้งหมด เช่นเทคนิคการก่อสร้าง การบิน และเทคโนโลยีอื่นๆเกือบทั้งหมด มีพื้นฐานมาจากแคลคูลัส

แคลคูลัสได้ขยายไปสู่ สมการเชิงอนุพันธ์ แคลคูลัสเวกเตอร์ แคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลง การวิเคราะห์เชิงซ้อน แคลคูลัสเชิงเวลา แคลคูลัสกณิกนันต์ และ ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์

�

แปลโดย�Koalar�นำต้นฉบับมาจาก�www.learner.org�::

Victor��J.��Katz��ผู้ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์รับเชิญของ�MAA�(Mathematical�Association�of�America:�ผู้แปล)�ในระหว่างปีการศึกษา�2537�–�2538�ได้ไปบรรยายที่มหาวิทยาลัย�District�of�Columbia��ตำราของเขาซึ่งมีชื่อว่า��“ประวัติของวิชาคณิตศาสตร์:�ความรู้เบื้องต้น”��นั้นได้รับการตีพิมพ์โดยสำนักพิมพ์��HarperCollins�ในปี�ค.ศ.1993

คำถามที่ว่าทำไมอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์จึงมีค่าเท่ากับฟังก์ชันโคไซน์ล่ะ?��หรือคำถามที่ว่าเพราะเหตุใดอนุพันธ์ของฟังก์ชันแทนเจนต์จึงมีค่าเท่ากับฟังก์ชันเซคแคนต์ยกกำลังสองล่ะ?��คำตอบหนึ่งซึ่งคุณได้เรียนรู้มาแล้วในวิชาแคลคูลัสก็คือกฎต่างๆ�เหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้��ในความเป็นจริงแล้วครูของคุณอาจจะพิสูจน์คำถามแรกได้จากบทนิยามของอนุพันธ์ก็ได้และนั่นก็ทำให้คุณมั่นใจได้ว่า� �=�1

และเราสามารถพิสูจน์คำถามที่สองได้โดยการใช้กฎอนุพันธ์ของผลหาร�แต่ทว่าหลังจากนี้เราจะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติในเชิงเรขาคณิตกัน�ซึ่งจะทำให้คุณเข้าใจเรื่องราวของอนุพันธ์ในเชิงเรขาคณิตได้ดียิ่งขึ้น�และถ้าเราย้อนกลับไปพิจารณาประวัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติเหล่านี้กับความสัมพันธ์ของประวัติวิชาแคลคูลัสก็จะทำให้คุณเข้าใจได้เช่นเดียวกัน

ทุกวันนี้�เรามักพิจารณาฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวอื่นๆ�เป็นฟังก์ชันเชิงตัวเลข�(numerical�functions)�ของจำนวนจริงซึ่งค่าในโดเมนนั้นอาจพิจารณาในแง่ของการวัดมุมก็ได้�แต่จนกระทั่งถึงยุคของออยเลอร์ในช่วงกลางศตวรรษที่�18��ค่าฟังก์ชันไซน์ถูกพิจารณาให้เป็นกลุ่มของเส้นตรงคงที่ในวงกลมซึ่งมีรัศมีตามที่กำหนดให้�ซึ่งเส้นตรงนั้นไม่ได้เกี่ยวข้องกับค่ามุมแต่เกี่ยวข้องกับค่าอาร์คนั่นเอง��(นั่นคือ��เทอมของอาร์คไซน์จึงมีค่าเท่ากับ�อาร์คของค่าไซน์ที่กำหนดให้สำหรับฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันไซน์)��ดังนั้น�จากรูปด้านบน�คุณจะเห็นว่าเรามี��y�=�sin�t��เมื่อ�t��เป็นการวัดค่าอาร์คและเพื่อความสะดวกในการพิจารณา�เราให้รัศมีของวงกลมนี้เท่ากับ�1�หน่วย�ในทำนองเดียวกันเราได้ว่า��x�=�cos�t

สมมติว่าเราต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์เมื่อเทียบกับอาร์ค��ซึ่งในช่วงศตวรรษที่�18��การทำแบบนี้หมายความว่าเราจะหาอัตราส่วนของความเปลี่ยนแปลงที่มีค่าน้อยมากของ�y�=�sin�t�เมื่อเทียบกับค่า�t�ซึ่งน้อยมากเช่นกัน�ดังนั้น�ความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากของค่าอาร์ค�t�สามารถแทนได้ด้วยการวาดรูปเส้นสัมผัสวงกลมซึ่งมีค่าน้อยมากไปยังวงกลมที่จุดปลายอาร์คของ�t�ถ้าเราพิจารณาว่าแทนเจนต์ดังกล่าวเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากทางขวามือ�ดังนั้น�เส้นดิ่งนี้จะแทนด้วย�dy�ซึ่งแทนความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากของค่าไซน์�แต่เนื่องจากสามเหลี่ยมเล็กๆ�รูปนี้คล้ายกับสามเหลี่ยมรูปใหญ่��โดยกฎของความคล้าย�เราสามารถแสดงได้ว่า� �=� �หรือเขียนได้อีกรูปหนึ่งว่า� �=� �นั่นเอง

ค่าอาร์กิวเมนต์เชิงเรขาคณิตซึ่งให้ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันไซน์และแทนเจนต์ดังกล่าวนี้ปรากฏเป็นครั้งแรกในการตีพิมพ์ซึ่งเกิดขึ้นหลังจากการถึงแก่กรรมของ�Roger��Cotes��(1682�–�1716)�ผู้ซึ่งเป็นบรรณาธิการในการพิมพ์ครั้งที่�2�ของ�Newton’s�Principia�และสำหรับการปรากฏตัวของอาร์กิวเมนต์ดังกล่าวในตำราวิชาแคลคูลัสเป็นครั้งแรกนั้นคือในหนังสือที่ชื่อ�A�New�Treatise�of�Fluxions�(1737)�โดย�Thomas�Simpson��(1710�–�1761)�ผู้ซึ่งมีชื่อเสียงมาจนทุกวันนี้จากกฎของ�Simpson�สำหรับการหาค่าอินทิกรัลเชิงตัวเลขโดยการประมาณแบบพาราโบลา��Simpson�ผู้นี้เป็นหนึ่งในกลุ่มของครูเอกชนในประเทศอังกฤษซึ่งได้พบกับความต้องการที่เพิ่มพูนขึ้นของชั้นเรียนระดับกลางในวิชาคณิตศาสตร์��เอกสารตำราดังกล่าวทำให้�Simpson�ได้เป็นสมาชิกในสมาคมคณิตศาสตร์แห่ง�Spitalfields��ซึ่งกฎของ��Simpson�นั้นได้รับการพิจารณาอย่างกว้างขวางจากสมาชิกทุกคน��“เขาจะถูกถามคำถามใดๆ�ในเชิงคณิตศาสตร์หรือในเชิงปรัชญาโดยสมาชิกท่านอื่นๆ�เพื่อที่จะชี้แนะเขาในลักษณะที่เรียบง่ายและสะดวกที่สุดเท่าที่จะทำได้”

แม้ว่าจะไม่ใช่ทั้ง�Newton�และ�Leibniz�ที่ได้พิจารณาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ�แต่พวกเขาก็มีส่วนในการคิดค้นอนุกรมกำลังและสมการเชิงอนุพันธ์�ตัวอย่างเช่น�Leibniz�ใช้รูปภาพเดียวกันนี้กับรูปสามเหลี่ยมเชิงอนุพันธ์เพื่อสรุปว่า�� =� ��หรือสรุปว่า��เนื่องจาก�x�=� �และ�dx�=� �ก็จะได้ว่า� �=�

สมมติว่า�dt�คือ�การเพิ่มขึ้นอย่างคงที่��ดังนั้น�

ติชม

ต้องการให้คะแนนบทความนี้่ ?

คะแนนโหวด

สร้างโดย :

BoriwaT

สถานะ : ผู้ใช้ทั่วไป
เครื่องกล