Thai-Austrian Technical College : วิทยาลัยเทคนิคสัตหีบ

บทความแคลคูลัส

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA

เนื้อหาของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทนี้ว่าไว้ว่า

ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับ x ที่อยู่ใน [a, b] ว่า

$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$

แล้ว

$F$

สำหรับทุก x ที่อยู่ใน [a, b]

ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่

$f(x) = F$ สำหรับทุก x ที่อยู่ใน [a, b]

แล้ว

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

ผลที่ตามมา

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b]. ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่

$f(x) = F$ สำหรับทุก x ที่อยู่ใน [a, b]

แล้ว

$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt + F(a)$

และ

$f(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt$

บทพิสูจน์

ส่วนที่ 1

กำหนดให้

$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$

ให้ x₁ และ x₁ + Δx อยู่ในช่วง [a, b] จะได้

$F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) dt$

และ

$F(x_1 + \Delta x) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt$

นำทั้งสองสมการมาลบกันได้

$F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt - \int_{a}^{x_1} f(t) dt \qquad (1)$

เราสามารถแสดงได้ว่า

$\int_{a}^{x_1} f(t) dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt$

(ผลรวมพื้นที่ของบริเวณที่อยู่ติดกัน จะเท่ากับ พื้นที่ของบริเวณทั้งสองรวมกัน)

ย้ายข้างสมการได้

$\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt - \int_{a}^{x_1} f(t) dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt$

นำไปแทนค่าใน (1) จะได้

$F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt \qquad (2)$

ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทิเกรต จะมี c อยู่ในช่วง [x₁, x₁ + Δx] ที่ทำให้

$\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) dt = f(c) \Delta x$

แทนค่าลงใน (2) ได้

$F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x \,$

หารทั้งสองข้างด้วย Δx จะได้

$\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c)$

สังเกตว่าสมการข้างซ้าย คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) ของ F ที่ x₁

ใส่ลิมิต Δx → 0 ทั้งสองข้างของสมการ

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c)$

สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ F ที่ x₁

$F$

เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า c อยู่ในช่วง [x₁, x₁ + Δx] ดังนั้น x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx

จาก $\lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1$ และ $\lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1$

ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า

$\lim_{\Delta x \to 0} c = x_1$

แทนค่าลงใน (3) จะได้

$F$

ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ c ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น

$F$

จบการพิสูจน์

(Leithold et al, 1996)

ส่วนที่ 2

ต่อไปนี้คือบทพิสูจน์ลิมิตโดย ผลรวมของรีมันน์-ดาบูต์

�

ภาพแสดงแนวคิดของ ผลรวมรีมันน์-ดาบูต์ ซึ่งใช้ในการประมาณพื้นที่ภายใต้กราฟใด ๆ ด้วยกราฟแท่งจำนวนมาก

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้

$F(b) - F(a)\,$

ให้ $a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b$ จะได้

$F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \,$

แล้วบวกและลบด้วยจำนวนเดียวกัน จะได้

$\begin{matrix} F(b) - F(a) & = & F(x_n)\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots\,+\,[-F(x_1) + F(x_1)]\,-\,F(x_0) \, \\ & = & [F(x_n)\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots\,-\,F(x_1)]\,+\,[F(x_1)\,-\,F(x_0)] \, \end{matrix}$

เขียนใหม่เป็น

$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [F(x_i) - F(x_{i-1})] \qquad (1)$

เราจะใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งกล่าวว่า

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และมีอนุพันธ์บนช่วง (a, b) แล้ว จะมี c อยู่ใน (a, b) ที่ทำให้

$f$

และจะได้

$f$

ฟังก์ชัน F เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง x_i-1 ได้ ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะได้

$F(x_i) - F(x_{i-1}) = F$

แทนค่าลงใน (1) จะได้

$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [F$

จาก $F$ และ $x i - x i - 1$ สามารถเขียนในรูป $Δ x$ ของผลแบ่งกั้น $i$

$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)] \qquad (2)$

สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกัน จากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง สังเกตอีกว่า $Δ x i$ ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุกๆค่าของ $i$ หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม $n$ รูป เมื่อขนาดของส่วนต่างๆเล็กลง และ $n$ มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่างๆมากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริงๆของเส้นโค้ง

โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่างๆนี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่นๆมีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์

ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้

$\lim_{\| \Delta \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)]\,dx$

ทั้ง F(b) และ F(a) ต่างก็ไม่ขึ้นกับ ||Δ|| ดังนั้น ลิมิตของข้างซ้ายจึงเท่ากับ F(b) - F(a)

$F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n [f(c_i)(\Delta x_i)]$

และนิพจน์ทางขวาของสมการ หมายถึงอินทิกรัลของ f จาก a ไป b ดังนั้น เราจะได้

$F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx$

จบการพิสูจน์

ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณต้องการคำนวณหา

$\int_2^5 x^2\;\mathrm{d}x$

ให้ $f (x) = x 2$ เราจะได้ $F(x)=\frac{x^3}{3}$ เป็นปฏิยานุพันธ์ ดังนั้น

$\int_2^5 x^2\;\mathrm{d}x = F(5) - F(2) = {125 \over 3} - {8 \over 3} = {117 \over 3} = 39$

ถ้าเราต้องการหา

จะได้ $\int_1^3 \frac{dx}{x}=\big[\ln|x|\big]_1^3 =\ln 3-\ln1=\ln 3$

นัยทั่วไป

เราไม่จำเป็นต้องให้ $f$ ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง $[a, b]$ และ $x 0$ เป็นจำนวนในช่วง $[a, b]$ ซึ่ง $f$ ต่อเนื่องที่ $x 0$ จะได้

$F(x) = \int_a^x f(t)\;\mathrm{d}t$

สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ $x = x 0$ และ $F (x 0) = f (x 0)$ เราสามารถคลายเงื่อนไขของ $f$ เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน $F$ นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ $F'(x) = f (x)$ จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก

ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน $f$ ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์ $F$ (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)

ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ $U$ เป็นเซตเปิดใน $\mathbb{C}$ และ $f:U\to\mathbb{C}$ เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ $F$ ใน $U$ ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง $\gamma�: [a,b] \to U$ ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก