º·¤ÇÒÁá¤Å¤ÙÅÑÊ
·Äɮպ·¹ÕéÇèÒäÇéÇèÒ
ãËé f à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹µèÍà¹×èͧº¹ªèǧ [a, b] ¶éÒ F à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹·Õè¹ÔÂÒÁÊÓËÃѺ x ·ÕèÍÂÙèã¹ [a, b] ÇèÒ
áÅéÇ
ÊÓËÃѺ·Ø¡ x ·ÕèÍÂÙèã¹ [a, b]
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Êèǹ·Õè 1
¡Ó˹´ãËé
ãËé x1 áÅÐ x1 + Δx ÍÂÙè㹪èǧ [a, b] ¨Ðä´é
áÅÐ
¹Ó·Ñé§ÊͧÊÁ¡ÒÃÁÒź¡Ñ¹ä´é
àÃÒÊÒÁÒöáÊ´§ä´éÇèÒ
- (¼ÅÃÇÁ¾×é¹·Õè¢Í§ºÃÔàdz·ÕèÍÂÙèµÔ´¡Ñ¹ ¨Ðà·èҡѺ ¾×é¹·Õè¢Í§ºÃÔàdz·Ñé§ÊͧÃÇÁ¡Ñ¹)
ÂéÒ¢éÒ§ÊÁ¡ÒÃä´é
¹Óä»á·¹¤èÒã¹ (1) ¨Ðä´é
µÒÁ·Äɮպ·¤èÒà©ÅÕèÂÊÓËÃѺ¡ÒÃÍÔ¹·Ôà¡Ãµ ¨ÐÁÕ c ÍÂÙè㹪èǧ [x1, x1 + Δx] ·Õè·ÓãËé
á·¹¤èÒŧ㹠(2) ä´é
ËÒ÷Ñé§Êͧ¢éÒ§´éÇ Δx ¨Ðä´é
- ÊѧࡵÇèÒÊÁ¡ÒâéÒ§«éÒ ¤×Í ÍѵÃÒÊèǹàªÔ§¼ÅµèÒ§¢Í§¹Ôǵѹ (Newton's difference quotient) ¢Í§ F ·Õè x1
ãÊèÅÔÁÔµ Δx → 0 ·Ñé§Êͧ¢éÒ§¢Í§ÊÁ¡ÒÃ
ÊÁ¡ÒâéÒ§«éÒ¨Ðà»ç¹Í¹Ø¾Ñ¹¸ì¢Í§ F ·Õè x1
à¾×èÍËÒÅÔÁÔµ¢Í§ÊÁ¡ÒâéÒ§¢ÇÒ àÃÒ¨Ðãªé·Äɮպ· squeeze à¾ÃÒÐÇèÒ c ÍÂÙè㹪èǧ [x1, x1 + Δx] ´Ñ§¹Ñé¹ x1 ≤ c ≤ x1 + Δx
¨Ò¡ áÅÐ
µÒÁ·Äɮպ· squeeze ¨Ðä´éÇèÒ
á·¹¤èÒŧ㹠(3) ¨Ðä´é
¿Ñ§¡ìªÑ¹ f ÁÕ¤ÇÒÁµèÍà¹×èͧ·Õè c ´Ñ§¹Ñé¹ àÃÒÊÒÁÒö¹ÓÅÔÁԵ᷹㹿ѧ¡ìªÑ¹ä´é ´Ñ§¹Ñé¹
¨º¡ÒþÔÊÙ¨¹ì
(Leithold et al, 1996)
Êèǹ·Õè 2
µèÍ仹Õé¤×ͺ·¾ÔÊÙ¨¹ìÅÔÁÔµâ´Â ¼ÅÃÇÁ¢Í§ÃÕÁѹ¹ì-´ÒºÙµì
ãËé f à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÕèÁÕ¤ÇÒÁµèÍà¹×èͧº¹ªèǧ [a, b] áÅÐ F à»ç¹»¯ÔÂҹؾѹ¸ì¢Í§ f ¾Ô¨ÒóҹԾ¨¹ìµèÍ仹Õé
ãËé ¨Ðä´é
áÅéǺǡáÅÐź´éǨӹǹà´ÕÂǡѹ ¨Ðä´é
à¢Õ¹ãËÁèà»ç¹
àÃÒ¨Ðãªé·Äɮպ·¤èÒà©ÅÕè «Öè§¡ÅèÒÇÇèÒ
ãËé f à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÕèÁÕ¤ÇÒÁµèÍà¹×èͧº¹ªèǧ [a, b] áÅÐÁÕ͹ؾѹ¸ìº¹ªèǧ (a, b) áÅéÇ ¨ÐÁÕ c ÍÂÙèã¹ (a, b) ·Õè·ÓãËé
áÅШÐä´é
¿Ñ§¡ìªÑ¹ F à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÕèËÒ͹ؾѹ¸ìä´é㹪èǧ [a, b] ´Ñ§¹Ñé¹ Áѹ¨ÐËÒ͹ؾѹ¸ìáÅÐÁÕ¤ÇÒÁµèÍà¹×èͧº¹áµèÅЪèǧ xi-1 ä´é µÒÁ·Äɮպ·¤èÒà©ÅÕè ¨Ðä´é
á·¹¤èÒŧ㹠(1) ¨Ðä´é
¨Ò¡ áÅÐ xi − xi − 1 ÊÒÁÒöà¢Õ¹ã¹ÃÙ» Δx ¢Í§¼Åáºè§¡Ñé¹ i
ÊѧࡵÇèÒàÃÒ¡ÓÅѧ͸ԺÒ¾×é¹·Õè¢Í§ÊÕèàËÅÕèÂÁ¼×¹¼éÒ â´ÂÁÕ¤ÇÒÁ¡ÇéÒ§¤Ù³¤ÇÒÁÊÙ§ áÅÐàÃÒ¡çºÇ¡¾×é¹·ÕèàËÅèÒ¹Ñé¹à¢éÒ´éÇ¡ѹ ¨Ò¡·Äɮպ·¤èÒà©ÅÕè ÊÕèàËÅÕèÂÁ¼×¹¼éÒáµèÅÐÃٻ͸ԺÒ¤èÒ»ÃÐÁÒ³¢Í§Êèǹ¢Í§àÊé¹â¤é§ ÊѧࡵÍÕ¡ÇèÒ Δxi äÁè¨Óà»ç¹µéͧàËÁ×͹¡Ñ¹ã¹·Ø¡æ¤èҢͧ i ËÃ×ÍËÁÒ¤ÇÒÁÇèÒ¤ÇÒÁ¡ÇéÒ§¢Í§ÊÕèàËÅÕèÂÁ¹Ñé¹äÁè¨Óà»ç¹µéͧà·èҡѹ ÊÔè§·ÕèàÃÒµéͧ·Ó¤×Í»ÃÐÁÒ³àÊé¹â¤é§´éǨӹǹÊÕèàËÅÕèÂÁ n ÃÙ» àÁ×èÍ¢¹Ò´¢Í§ÊèǹµèÒ§æàÅç¡Å§ áÅÐ n ÁÕ¤èÒÁÒ¡¢Öé¹ ·ÓãËéà¡Ô´ÊèǹµèÒ§æÁÒ¡¢Öé¹ à¾×èͤÃͺ¤ÅØÁ¾×é¹·Õè àÃÒ¨ÐÂÔè§à¢éÒã¡Åé¾×é¹·Õè¨ÃÔ§æ¢Í§àÊé¹â¤é§
â´Â¡ÒÃËÒÅÔÁÔµ¢Í§¹Ô¾¨¹ì¹Õéà»ç¹àÁ×èͤèÒà©ÅÕè¢ͧÊèǹµèÒ§æ¹Õé à¢éÒã¡ÅéÈÙ¹Âì àÃÒ¨Ðä´é »ÃԾѹ¸ìẺÃÕÁѹ¹ì ¹Ñ蹤×Í àÃÒËÒÅÔÁÔµàÁ×èÍ¢¹Ò´Êèǹ·ÕèãËè·ÕèÊØ´à¢éÒã¡ÅéÈÙ¹Âì ¨Ðä´éÊèǹÍ×è¹æÁÕ¢¹Ò´àÅç¡Å§ áÅШӹǹÊèǹà¢éÒã¡Åé͹ѹµì
´Ñ§¹Ñé¹ àÃÒ¨ÐãÊèÅÔÁԵ价Ñé§Êͧ¢éÒ§¢Í§ÊÁ¡Òà (2) ¨Ðä´é
·Ñé§ F(b) áÅÐ F(a) µèÒ§¡çäÁè¢Ö鹡Ѻ ||Δ|| ´Ñ§¹Ñé¹ ÅÔÁÔµ¢Í§¢éÒ§«éÒ¨֧à·èҡѺ F(b) - F(a)
áÅйԾ¨¹ì·Ò§¢ÇҢͧÊÁ¡Òà ËÁÒ¶֧ÍÔ¹·Ô¡ÃÑŢͧ f ¨Ò¡ a ä» b ´Ñ§¹Ñé¹ àÃÒ¨Ðä´é
¨º¡ÒþÔÊÙ¨¹ì
µÑÇÍÂèÒ§
µÑÇÍÂèÒ§àªè¹ ¶éҤسµéͧ¡ÒäӹdzËÒ
ãËé f(x) = x2 àÃÒ¨Ðä´é à»ç¹»¯ÔÂҹؾѹ¸ì ´Ñ§¹Ñé¹
¶éÒàÃÒµéͧ¡ÒÃËÒ
¨Ðä´é
¹Ñ·ÑèÇä»
àÃÒäÁè¨Óà»ç¹µéͧãËé f µèÍà¹×èͧµÅÍ´·Ñ駪èǧ ´Ñ§¹Ñé¹Êèǹ·Õè 1 ¢Í§·Äɮպ·¨Ð¡ÅèÒÇÇèÒ ¶éÒ f à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÕèÊÒÁÒöËÒ»ÃԾѹ¸ìàÅÍມº¹ªèǧ [a,b] áÅÐ x0 à»ç¹¨Ó¹Ç¹ã¹ªèǧ [a,b] «Öè§ f µèÍà¹×èͧ·Õè x0 ¨Ðä´é
ÊÒÁÒöËÒ͹ؾѹ¸ìä´éÊÓËÃѺ x = x0 áÅÐ F(x0) = f(x0) àÃÒÊÒÁÒö¤ÅÒÂà§×è͹䢢ͧ f à¾Õ§á¤èãËéÊÒÁÒöËÒ»ÃԾѹ¸ìä´éã¹µÓá˹觹Ñé¹ ã¹¡Ã³Õ¹Ñé¹ àÃÒÊÒÁÒöÊÃØ»ä´éÇèҿѧ¡ìªÑ¹ F ¹Ñè¹ÊÒÁÒöËÒ͹ؾѹ¸ìä´éà¡×ͺ·Ø¡·Õè áÅÐ F'(x) = f(x) ¨Ðà¡×ͺ·Ø¡·Õè ºÒ§·ÕàÃÒàÃÕ¡·ÄɮչÕéÇèÒ ·Äɮպ·Í¹Ø¾Ñ¹¸ì¢Í§àÅÍມ
Êèǹ·Õè 2¢Í§·Äɮպ·¹Õéà»ç¹¨ÃÔ§ÊÓËÃѺ·Ø¡¿Ñ§¡ìªÑ¹ f ·ÕèÊÒÁÒöËÒ»ÃԾѹ¸ìàÅÍມä´é áÅÐÁÕ»¯ÔÂҹؾѹ¸ì F (äÁèãªè·Ø¡¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÕèËÒ͹ؾѹ¸ìä´é)
Êèǹ¢Í§·Äɮպ·¢Í§à·ÂìàÅÍÃì«Öè§¡ÅèÒǶ֧¾¨¹ì·Õèà¡Ô´¢éͼԴ¾ÅÒ´à»ç¹»ÃԾѹ¸ìÊÒÁÒöÁͧä´éà»ç¹¹Ñ·ÑèÇ仢ͧ·Äɮպ·ÁÙŰҹ¢Í§á¤Å¤ÙÅÑÊ
ÁÕ·Äɮպ·Ë¹Öè§ÊÓËÃѺ¿Ñ§¡ìªÑ¹àªÔ§«é͹: ãËé U à»ç¹à«µà»Ô´ã¹ áÅÐ
à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÕèÁÕ »ÃԾѹ¸ìâÎâÅÁÍÃì¿ F ã¹ U ´Ñ§¹Ñé¹ÊÓËÃѺàÊé¹â¤é§
»ÃԾѹ¸ìàÊé¹â¤é§¨Ð¤Ó¹Ç³ä´é¨Ò¡
·Äɮպ·ÁÙŰҹ¢Í§á¤Å¤ÙÅÑÊÊÒÁÒöÇÒ§¹Ñ·ÑèÇä»ãËé¡Ñº »ÃԾѹ¸ìàÊé¹â¤é§áÅо×é¹¼ÔÇã¹ÁÔµÔ·ÕèÊÙ§¡ÇèÒáÅк¹áÁ¹Ôâ¿Å´ìä´é