Thai-Austrian Technical College : วิทยาลัยเทคนิคสัตหีบ

ประวัติ แคลคูลัส http://203.172.204.162/intranet/1023_mc41/content/charles.01.htm

แคลคูลัส

�� แคลคุลัส�� เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนามาจากพีชคณิตและเรขาคณิต เกิดจากการรวมกันของสองแนวคิดหลัก แนวคิดแรกคือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus) คือทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการอนุพันธ์ ซึ่งพูดถึงฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์, ความเร็ว, ความเร่ง และความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้ แนวคิดที่สองคือ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) เกี่ยวข้องกับแนวคิดในการอินทิเกรต และใช้แนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับพื้นที่ที่ล้อมด้วยกราฟของฟังก์ชัน และแนวคิดเกี่ยวกับปริมาตร

�

จากสองแนวคิดนี้ทำให้เกิด ฟังก์ชันอินเวอร์ส ซึ่งอธิบายด้วย ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส เพราะฉะนั้น ในการสอนแคลคูลัสควรกล่าวถึงทั้งสองอย่างนี้ก่อน แต่การศึกษาในปัจจุบันมักจะกล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก่อน

ประวัติ (History)

ต้นกำเนิดของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ย้อนไปถึงยุคกรีกโบราณ ยูโดซัส มักจะเป็นที่รู้จักกันในนามของผู้ที่ค้นพบ Method of Exhaustion ซึ่งทำให้สามารถคำนวณหาพื้นที่และปริมาตรได้ อาร์คิมิดิส ได้พัฒนาวิธีการนี้ต่อ และได้พัฒนาวิธีการช่วยคำนวณ ซึ่งคล้ายคลึงกับแนวคิดในปัจจุบันด้วย ไลบ์นิซ และ นิวตัน มักจะได้รับการยอมรับว่าเป็นผู้ที่คิดค้นแคลคูลัสขึ้นมา โดยเฉพาะการค้นพบทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีการโต้เถียงกันว่านิวตันหรือไลบ์นิซเป็นผู้ที่ค้นพบแนวคิดหลักของแคลคูลัสก่อน ความจริงนั้นไม่มีใครรู้ได้ สิ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่ไลบ์นิซได้พัฒนาให้กับแคลคูลัสคือเครื่องหมายของเขา เขามักจะใช้เวลาเป็นวันๆนั่งคิดถึงสัญลักษณ์ที่เหมาะสมที่จะแทนที่แนวคิดทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การโต้เถียงกันระหว่างไลบ์นิซและนิวตัน ได้แบ่งแยกนักคณิตศาสตร์ที่พูดภาษาอังกฤษออกจากนักคณิตศาสตร์ในยุโรปเป็นเวลานานหลายปี ซึ่งทำให้คณิตศาสตร์ในอังกฤษล้าหลังกว่ายุโรปเป็นเวลานาน เครื่องหมายที่นิวตันใช้นั้นคล่องตัวน้อยกว่าของไลบ์นิซอย่างเห็นได้ชัด แต่ก็ยังใช้กันในอังกฤษจน Analytical Society ได้ใช้เครื่องหมายของไลบ์นิซในศตวรรษที่ 19 ตอนต้น สันนิษฐานกันว่านิวตันค้นพบแนวคิดเกี่ยวกับแคลคูลัสก่อน แต่อย่างไรก็ตาม ไลบ์นิซเป็นผู้ที่เผยแพร่ก่อน ทุกวันนี้เป็นที่เชื่อกันว่า ทั้งนิวตันและไลบ์นิซต่างก็ค้นพบแคลคูลัสด้วยตนเอง

ผู้ที่ได้ชื่อว่าเป็นผู้พัฒนาวิชาแคลคูลัสนอกจากนี้คือ Barrow, Descartes, de Fermat, Huygens และ Wallis โดยเฉพาะ de Fermat ซึ่งบางครั้งได้รับการยกย่องว่าเป็น บิดาแห่งแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น Kowa Seki มีชีวิตอยู่ในช่วงเวลาเดียวกันกับ ไลบ์นิซ และนิวตัน และยังค้นพบหลักการพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ แต่เขาไม่เป็นที่รู้จักในโลกตะวันตกในขณะนั้น และเขาก็ไม่ได้ติดต่อกับนักวิชาการชาวตะวันตกเลย

คลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus)อนุพันธ์ (derivative) คือการหาค่าความเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหนึ่ง เมื่ออีกตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่น้อยมากๆ บางทีอนุพันธ์ที่จะได้พบครั้งแรกในโรงเรียนคือสูตร อัตราเร็ว=ระยะทาง/เวลา สำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ อัตราเร็วของคุณซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่บอกการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งในระยะเวลาหนึ่ง วิชาแคลคูลัสพัฒนาขึ้นเพื่อจัดการกับปัญหาที่ซับซ้อนและเป็นธรรมชาติกว่านี้ ซึ่งอัตราเร็วของคุณอาจเปลี่ยนแปลงได้

เมื่อเรากล่าวถึงรายละเอียดแล้ว แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง (อนุพันธ์) ระหว่างค่าของฟังก์ชัน กับตัวแปรของฟังก์ชัน นิยามจริงๆของอนุพันธ์คือลิมิตของอัตราส่วนในการปลี่ยนแปลง อนุพันธ์คือหัวใจของวิทยาศาสตร์กายภาพ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน แรง=มวล×ความเร่ง มีความหมายในแคลคูลัส เพราะว่า ความเร่งเป็นอนุพันธ์ค่าหนึ่ง ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวล และทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ (สัมพัทธภาพทั่วไป) นั่นได้กล่าวถึงด้วยภาษาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ เช่นเดียวกันกับทฤษฎีพื้นฐานของวงจรไฟฟ้า

อนุพันธ์ของฟังก์ชันกล่าวถึงกราฟของฟังก์ชันนั้นในช่วงสั้นๆ ซึ่งทำให้เราสามารถหาจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดของฟังก์ชันได้ เพราะว่าที่จุดเหล่านั้นกราฟจะขนานกับแกนราบ ดิเฟอเรนเชียล แคลคูลัสยังมีการประยุกต์ใช้อื่นๆอีก เช่น ระเบียบวิธีของนิวตัน ซึ่งเป็นวิธีในการหาค่ารากของฟังก์ชันโดยการประมาณค่าโดยเส้นสัมผัส ดังนั้นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จึงสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับหลากหลายคำถามซึ่งถ้ามองแค่ผิวเผินอาจไม่คิดว่าไม่อาจใช้แคลคูลัสจัดการได้

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus)

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ศึกษาวิธีการหาปริพันธ์(อินทิกรัล,Integral) ของฟังก์ชัน ซึ่งอาจนิยามจากลิมิตของผลรวมของพจน์ (ซึ่งเรียกว่าลิมิตของผลรวมรีมันน์) แต่ละพจน์นั้นคือพื้นที่ที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละแถบใต้กราฟของฟังก์ชัน ทำให้การอินทิเกรตเป็นวิธีที่ได้ผลวิธีหนึ่งในการหาพื้นที่ใต้กราฟ และพื้นที่ผิว และปริมาตรของแข็งเช่นทรงกลมและทรงกระบอก

พื้นฐานของแคลคูลัส (Foundation)

พื้นฐานที่เคร่งครัดของแคลคูลัสมีฐานมาจากแนวคิดของฟังก์ชันและลิมิต มันรวมเทคนิคของพีชคณิตพื้นฐานและการอุปนัยเชิงคณตศาสตร์ การศึกษาพื้นฐานของแคลคูลัสสมัยใหม่รู้จักกันในชื่อการวิเคราะห์เชิงจริง ซึ่งประกอบด้วยนิยามที่เคร่งครัดและบทพิสูจน์ของทฤษฎีของแคลคูลัส เช่นทฤษฎีการวัด และการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส (Fundamental theorem of calculus)

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่าการหาอนุพันธ์ และการหาปริพันธ์นั้น เป็นวิธีการกลับกัน ถ้ากล่าวโดยละเอียดแล้ว ปฏิยานุพันธ์สามารถคำนวณได้ด้วยการหาปริพันธ์จำกัดเขต

ความจริงข้อนี้ปรากฏแก่ทั้งนิวตันและไลบ์นิซ ซึ่งเป็นกุญแจนำไปสู่การขยายผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์อย่างมากมายหลังจากงานของทั้งสองเป็นที่รู้จัก ความเชื่อมโยงนี้ทำให้เราสามารถย้อนความเปลี่ยนแปลงทั้งหมดในฟังก์ชันในช่วงหนึ่งจากอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง โดยการหาปริพันธ์ของส่วนหลัง ทฤษฎีบทมูลฐานนี้ยังให้วิธีในการคำนวณหาปริพันธ์จำเขตด้วยวิธีทางพีชคณิตเป็นจำนวนมาก โดยไม่ต้องใช้วิธีการหาลิมิต ด้วยการหาปฏิยานุพันธ์ ทฤษฎีบทนี้ยังอนุญาตให้เราแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งคือสมการที่เกี่ยวข้องกันระหว่าง ฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า และอนุพันธ์ของมัน สมการเชิงอนุพันธ์นั้นมีอยู่ทั่วไปในวิทยาศาสตร์

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส 1: อนุพันธ์(ปริพันธ์(f(x))) ในเทอมของ x คือ x

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส 2: ปริพันธ์(f(x)) เมื่อ b เป็นขอบเขตบน และ a เป็นขอบเขตล่าง จะเท่ากับ F(b)-F(a) เมื่อ F(x) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x)

�

การประยุกต์ใช้ (Application)

การพัฒนาและการใช้แคลคูลัสได้ขยายผลไปแทบทุกส่วนของการใช้ชีวิตในยุคใหม่ มันเป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์เกือบทุกสาขาโดยเฉพาะ ฟิสิกส์ การพัฒนาสมัยใหม่เกือบทั้งหมด เช่นเทคนิคการก่อสร้าง การบิน และเทคโนโลยีอื่นๆเกือบทั้งหมด มีพื้นฐานมาจากแคลคูลัส

แคลคูลัสได้ขยายไปสู่ สมการเชิงอนุพันธ์ แคลคูลัสเวกเตอร์ แคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลง การวิเคราะห์เชิงซ้อน แคลคูลัสเชิงเวลา แคลคูลัสกณิกนันต์ และ ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์

รูปภาพที่เกี่ยวข้อง

ติชม

ต้องการให้คะแนนบทความนี้่ ?

คะแนนโหวด

สร้างโดย :

Building

สถานะ : ผู้ใช้ทั่วไป
การก่อสร้าง