วิทยาลัยเทคนิคสัตหีบ

แคลคูลัส http://www.math.psu.ac.th/html/en/Article/100-calculus.html

ทำไม วิชาแคลคูลัสจึงมี “ประสิทธิภาพ” สูงกว่าพีชคณิตเบื้องต้น ?

$PDF$

$พิมพ์$

$อีเมล$

$alt$

คง จะไม่เป็นธรรมอย่างยิ่ง เมื่อนำวิชาหนึ่งคือวิชาพีชคณิต (Algebra) มาเปรียบเทียบในเชิง “ประสิทธิภาพ” หรือความสามารถกับวิชาแคลคูลัส (Calculus) เพราะวิชาแคลคูลัสเกิดมาภายหลังวิชาพีชคณิตถึงกว่าหนึ่งพันปี โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิชาแคลคูลัสได้เกิดขึ้นภายหลังการบรรลุทางปัญญาครั้งยิ่ง ใหญ่ของมนุษยชาติ นั่นคือภายหลังการใช้ “ญาณหยั่งรู้ (intuition)” ของจำนวนที่ต้องหารด้วย “จำนวนที่เข้าใกล้ศูนย์” จนนำไปสู่ความรู้ใหม่เรื่อง “ลิมิต (limit) ” ที่คิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์สองท่านที่ชื่อ ไลบ์นิซ (Leibniz) และนิวตัน (Newton) เมื่อประมาณ 400 ปีที่แล้ว
�� แต่บทความนี้ต้องการจะเปรียบเทียบให้เห็นในบางสิ่งบางอย่างที่คนในวงการได้มองข้ามไป

�

ในวงการวิชาแคลคูลัสไม่ว่าจะเป็นตำราหรือในกลุ่มอาจารย์ผู้สอน มักจะกล่าวและยอมรับกันว่า “ปริพันธ์ (integral) คือส่วนกลับของอนุพันธ์ (derivative)”�� เช่น เมื่อต้องการหาว่า�� $alt$ เท่ากับอะไร�� เราก็จะคิดย้อนกลับไปว่า�� “อนุพันธ์ของอะไรจึงจะเท่ากับ�� $alt$ ”�� แล้วกระบวนการคิดของเราก็จบอยู่เพียงแค่นั้น� เพราะเราได้คำตอบที่ต้องการแล้ว� ผู้เขียนเองซึ่งอยู่ในวงการนี้มานานร่วม 40 ปีก็ไม่เคยได้คิดอะไรลึกไปกว่านั้นว่ามันเป็นส่วนกลับกันอย่างไร
�� บทความนี้จะคิดลึกลงไปให้เห็นว่า “ปริพันธ์เป็นส่วนกลับของอนุพันธ์” ได้อย่างไร โดยอยู่บนฐานคิดของ “การดำเนินการ (operation)” คือ บวก ลบ คูณ และ หาร นอกจากนี้ เมื่อเปรียบเทียบประสิทธิภาพ (หรือความสามารถการทำงานในช่วงเวลาที่กำหนด) ในวิชาพีชคณิตเบื้องต้นแล้ว เราจะพบว่า ในวิชาแคลคูลัสแทนที่จะดำเนินการทีละครั้งอย่างวิชาพีชคณิตคือทำบวก ลบ คูณ หาร ครั้งละหนึ่งตัวดำเนินการ (operator)� แต่วิชาแคลคูลัสจะดำเนินการครั้งละสองตัวดำเนินการ คือ ลบแล้วหารในครั้งเดียวกันในกรณีของอนุพันธ์ และทำคูณแล้วบวกในครั้งเดียวกันในกรณีของปริพันธ์
�� เพื่อความเข้าใจในเบื้องต้น การดำเนินการในวิชาแคลคูลัสในส่วนของอนุพันธ์และปริพันธ์สามารถพิจารณาได้ดังแผนภาพข้างล่างนี้

�

$alt$

2.�� ทำไมการดำเนินการในอนุพันธ์จึงเป็น ลบ กับ หาร พร้อมกัน
�� ผู้เขียนเห็นว่าข้อบกพร่องที่สำคัญในการเรียนการสอนรวมทั้งตำราวิชา แคลคูลัสทั้งในระดับโลกและระดับประเทศก็คือ มีการเน้นที่เทคนิคในการหาอนุพันธ์และปริพันธ์มากเกินไป� จนไม่มีเวลาหรือพื้นที่ให้กับความหมายที่เป็นหัวใจสำคัญที่แท้จริงของวิชา� เมื่อไม่มีเวลาในส่วนดังกล่าวจึงไม่ได้สนใจเปรียบเทียบเรื่องการดำเนินการ ที่จะกล่าวต่อไปนี้
เพื่อค้นหาคำตอบในหัวข้อนี้ เราจำเป็นต้องเริ่มต้นจากนิยามและความหมายของอนุพันธ์ของฟังก์ชันกันก่อน� ซึ่งทั้งนิยาม (จากสูตรในรูปของลิมิต) และความหมาย (ในรูปถ้อยคำบรรยาย) ซึ่งก็ต้องเป็นสิ่งเดียวกันหรือเหมือนกัน แต่บทความนี้จะกล่าวถึงเฉพาะนิยามในรูปสูตรของอนุพันธ์เท่านั้น
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน � $alt$ � คือ�� $alt$ �� . . . (1)

จากนิยามในรูปสูตรดังกล่าว เราจะเห็นว่า ทุกครั้งที่มีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะมีการดำเนินการทางพีชคณิตเบื้องต้น ถึงสองครั้งคือ ลบแล้วตามด้วยหาร หรือดำเนินการครั้งเดียวแต่ทำสองอย่าง ในขณะที่วิชาพีชคณิตเบื้องต้นจะต้องทำทีละครั้ง การดำเนินการดังกล่าวมาจากความหมายของอนุพันธ์ที่ว่า คือ อัตราการเปลี่ยนแปลง (rate of change) ของฟังก์ชันนั่นเอง
ถ้าเราคิดในแง่ของเวลาที่ใช้ในการคำนวณ (วิชาศาสตร์ว่าด้วยการคำนวณจะสนใจเรื่องนี้มาก) เวลาที่ใช้ในการทำพีชคณิตสองครั้งจะมากกว่าการหาอนุพันธ์ครั้งเดียว ถ้าจะเปรียบเทียบประสิทธิภาพของวิชาระหว่างพีชคณิตกับแคลคูลัส ผู้เขียนเห็นว่าวิชาแคลคูลัสจะมีประสิทธิภาพสูงกว่า(พิจารณาในแง่ของการ ดำเนินการเท่านั้น)
ถ้าคิดในแง่ของความก้าวหน้าทางปัญญาตลอดประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติ� พบว่าเมื่อกว่า 2000 ปีมาแล้ว อาร์คีมีดีสก็พยายามจะคำนวณสิ่งที่ต้อง “หารด้วยศูนย์”�� แต่ก็ไม่สามารถทำได้เพราะวิชาพีชคณิตเขาห้ามการหารด้วยศูนย์
นักคณิตศาสตร์ในปัจจุบันบางท่านได้เขียนเป็นสมการให้เข้าใจอย่างง่าย ๆ ว่า “แคลคูลัส เท่ากับพีชคณิตบวกลิมิต”� �
อย่างไรก็ตาม�� Marius� Sophus� Lie� นักคณิตศาสตร์ชาวนอรเวย์ ได้เคยกล่าวถึงวิชาหนึ่งคือสมการเชิงอนุพันธ์ (ที่ถือว่าเป็นวิชาลูกของแคลคูลัส) ไว้ว่า� “Among all mathematical disciplines the theory of� differential equations is the most important.” (ในบรรดาหลักการเชิงคณิตศาสตร์ทั้งหลาย ทฤษฎีเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์คือสิ่งสำคัญที่สุด)
�� ผู้เขียนอ่านใจของ� M. S. Lie�� ว่าคำว่า “สำคัญ” ในคำพูดดังกล่าวน่าจะหมายถึงคำว่า “ประสิทธิภาพ” ที่ผู้เขียนใช้นั่นเอง

3.� ทำไมการดำเนินการในปริพันธ์จึงเป็น คูณ กับ บวก พร้อมกัน
�� โดยวิธีคิดเดิม คือเริ่มต้นจากนิยามของปริพันธ์จำกัดเขต ( definite� integral) ของ� $alt$ � จาก� x = a� ถึง�� x = b �

�

$alt$ �� . . . (2)
เมื่อ, � $alt$
�� เราสามารถสังเกตได้ว่า ทางขวามือของสมการ (2) คือ ผลบวกของผลคูณ� นั่นคือ มีการดำเนินการเพื่อหาผลคูณก่อน จากนั้นจึงค่อยดำเนินการหาผลบวกตามมา
�� ถ้า�� $alt$ � แทนกำลัง ( power )� ของกระแสไฟฟ้าที่ใช้ในบ้านเมื่อเวลา�� $alt$ � ใด ๆ� ดังนั้น ผลคูณของ� $alt$ �� กับช่วงเวลา� $alt$ � ก็คือพลังงานไฟฟ้า (energy) ที่ใช้ในช่วงเวลาดังกล่าว �
�� เมื่อนำพลังงานไฟฟ้าในแต่ละช่วง (คือ� $alt$ � ) มาบวกกัน ก็จะได้พลังงานไฟฟ้ารวมโดยประมาณทั้งวัน�� เมื่อต้องการทราบพลังงานไฟฟ้าที่แน่นอน (ไม่คลาดเคลื่อนเลย) เราจึงใช้กระบวนการของลิมิตเข้ามาใช้ตลอดช่วงเวลา� 24 ชั่วโมง
�� โดยสรุป การหาปริพันธ์ในวิชาแคลคูลัสก็คือ การหาผลบวกของผลคูณของสองปริมาณนั่นเอง แต่ต้องไม่ลืมใช้กระบวนการของลิมิตด้วย
��
4. ความเชื่อมโยงระหว่างอนุพันธ์และปริพันธ์
�� มีทฤษฎีอยู่ 2 บทที่จะเชื่อมโยงอนุพันธ์กับปริพันธ์เข้าด้วยกัน คือทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Calculus) บทความนี้จะนำเสนอเพียงบทเดียวเพื่อแสดงให้เห็นว่า ผลต่าง (หรือผลลบ) ของสองปริพันธ์จะนำไปสู่อนุพันธ์ได้อย่างไร
ทฤษฎีบท� สมมุติว่า� $alt$ � เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่อง �
�� ถ้า�� $alt$ �� แล้ว�� $alt$
�� เพื่อที่จะหา� $alt$ � เราจะต้องเริ่มต้นจากผลต่างของ� $alt$ � (หรือ� $alt$ � ) จากนิยาม นั่นคือ $alt$
� $alt$
��
หารตลอดด้วย� $alt$ � จะได้
�� $alt$ �� =�� ค่าเฉลี่ยของ� $alt$ � ในช่วง� $alt$ � ถึง��
ซึ่งเท่ากับ�� $alt$ �� เมื่อ � $alt$

เมื่อ�� $alt$ ,�� $alt$ �� ,� $alt$ �� ดังนั้น��
�� เราสามารถสรุปเป็นถ้อยคำได้ว่า� อนุพันธ์ของปริพันธ์(ของฟังก์ชันใด) จะเท่ากับฟังก์ชันนั้น
5. บทส่งท้าย: อนุพันธ์ ปริพันธ์ กับความสับสนในภาษาไทย
�� ในแง่ของภาษา การแปลคำว่า “integration” ในภาษาอังกฤษมาเป็น “การหาปริพันธ์” ในภาษาไทย ผู้เขียนคิดว่าน่าจะมีปัญหาต่อการทำความเข้าใจ แท้ที่จริงแล้ว ความหมายที่ปรากฏในสมการ (2) ก็คือผลบวกที่นักคณิตศาสตร์ใช้แทนด้วยเครื่องหมายสัญลักษณ์�� $alt$ �� ( อ่านว่า sigma ในภาษากรีก)�� เพื่อให้การเขียนพจน์ทางขวามือของสมการ (2) สะดวกขึ้น นักคณิตศาสตร์จึงจับเครื่องหมาย $alt$ � มายืดออกจนได้เป็นเครื่องหมาย� � $alt$
�� ในระยะ 20-30� ปีมานี้สังคมไทยเรารู้จักและเข้าใจคำว่า “Integration” และมีการแปลเป็นภาษาไทยว่า “บูรณาการ”�� ซึ่งหมายถึงการรวมที่มีความหมายสอดคล้องกับที่มาที่ไปของสมการ (2)� ได้เป็นอย่างดี
ดังนั้น ผู้เขียนจึงมีความเห็นว่า การใช้คำว่า “การหาปริพันธ์” แทนคำว่า “Integration” น่าจะทำให้เกิดความสับสนต่อคนไทยมาก
ในทำนองเดียวกัน คำว่า “derivative”� ที่ภาษาไทยใช้คำว่า “อนุพันธ์”� ก็น่าจะทำให้คนไทยสับสนได้ระดับหนึ่ง� พจนานุกรมฉบับ English Language Dictionary โดย Collins Cobuild (1987) ได้ให้คำอธิบายคำว่า “derivative” ว่า “คือสิ่งที่ไม่ใช่สิ่งใหม่หรือสิ่งดั้งเดิมแต่เป็นสิ่งที่พัฒนามาจากสิ่ง อื่น” ถ้าเปรียบกับเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันก็จะเป็นไปทำนองเดียวกัน คือพัฒนามาจากฟังก์ชันเดิม หรือมีรากของการมีความ “สัมพันธ์” กันอยู่บ้าง �
อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนคิดว่า ถ้าเรายึดนิยามของอนุพันธ์ตามความหมายในสมการ (1) เราจะพบว่า “อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลง” หรือ “อัตราของผลต่าง”� ของฟังก์ชัน
ถ้าเราตัดเรื่องลิมิตทิ้งไปและคิดการเปลี่ยนแปลงในช่วงหนึ่งหน่วยของตัวแปร อิสระ� การหาอนุพันธ์ (differentiation) ก็คือการหาผลต่าง (difference)� นั่นเอง
เมื่อเป็นเช่นนี้� สมการเชิงอนุพันธ์ก็คือสมการเชิงผลต่าง ถ้าแปลศัพท์โดยอิงกับความหมายเดิมของก็น่าจะลดความสับสนลงได้บ้าง
สุดท้ายนี้ ผู้เขียนเชื่อว่า บทความนี้ได้ทำหน้าที่หลักคือตอบคำถามที่สำคัญตามที่ได้ตั้งไว้เรียบร้อยแล้ว.
�� ประสาท มีแต้ม