¿Ñ§¡ìªÑè¹á¤Å¤ÙÅÑʤÃѺ
ã¹ ¤³ÔµÈÒʵÃì ¿Ñ§¡ìªÑ¹ ¤×Í ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì ¨Ò¡ ૵ ˹Öè§ (â´àÁ¹) ä»ÂѧÍա૵˹Öè§ (â¤â´àÁ¹ äÁèãªè àù¨ì) â´Â·ÕèÊÁÒªÔ¡µÑÇ˹éÒäÁè«éӡѹ ¤ÇÒÁ¤Ô´ÃǺÂÍ´¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹¹Õéà»ç¹¾×é¹°Ò¹¢Í§·Ø¡ÊҢҢͧ¤³ÔµÈÒʵÃìáÅÐÇÔ·ÂÒÈÒʵÃìàªÔ§»ÃÔÁÒ³
á¹Ç¤Ô´·ÕèÊӤѷÕèÊØ´¤×Í ¿Ñ§¡ìªÑ¹¹Ñé¹à»ç¹ '¡®' ·Õè¡Ó˹´ ¼ÅÅѾ¸ìâ´Â¢Ö鹡ѺÊÔ觷Õè¹Óà¢éÒÁÒ µèÍ仹Õéà»ç¹µÑÇÍÂèÒ§
- áµèÅФ¹¨ÐÁÕÊÕ·Õèµ¹ªÍº (á´§, ÊéÁ, àËÅ×ͧ, à¢ÕÂÇ, ¿éÒ, ¹éÓà§Ô¹, ¤ÃÒÁ ËÃ×ÍÁèǧ) ÊÕ·ÕèªÍºà»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹¢Í§áµèÅФ¹ àªè¹ ¨ÍË칪ͺÊÕá´§ áµè¤ÔÁªÍºÊÕÁèǧ ã¹·Õè¹ÕéÊÔ觷Õè¹Óà¢éÒ¤×ͤ¹ áÅмÅÅѾ¸ì¤×Í 1 ã¹ 8 Êմѧ¡ÅèÒÇ
- ÁÕà´ç¡ºÒ§¤¹¢Ò¹éÓÁйÒÇ㹪èǧĴÙÃé͹ ¨Ó¹Ç¹¹éÓÁйÒÇ·Õè¢ÒÂä´éà»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹¢Í§ÍسËÀÙÁÔÀÒ¹͡ µÑÇÍÂèÒ§àªè¹ ¶éÒÀÒ¹͡ÁÕÍسËÀÙÁÔ 85 ͧÈÒ ¨Ð¢ÒÂä´é 10 á¡éÇ áµè¶éÒÍسËÀÙÁÔ 95 ͧÈÒ ¨Ð¢ÒÂä´é 25 á¡éÇ ã¹·Õè¹Õé ÊÔ觷Õè¹Óà¢éÒ¤×ÍÍسËÀÙÁÔ áÅмÅÅѾ¸ì¤×ͨӹǹ¹éÓÁйÒÇ·Õè¢ÒÂä´é
- ¡é͹ËÔ¹¡é͹˹Ö觻ÅèÍÂŧÁÒ¨Ò¡ªÑé¹µèÒ§æ¢Í§µÖ¡ÊÙ§ ¶éÒ»ÅèͨҡªÑé¹·ÕèÊͧ ¨ÐãªéàÇÅÒ 2 ÇÔ¹Ò·Õ áÅжéÒ»ÅèͨҡªÑé¹·Õèá»´ ¨ÐãªéàÇÅÒ (à¾Õ§) 4 ÇÔ¹Ò·Õ ã¹·Õè¹Õé ÊÔ觹Óà¢éÒ¤×ͪÑé¹ áÅмÅÅѾ¸ì¤×ÍÃÐÂÐàÇÅÒà»ç¹ÇÔ¹Ò·Õ ¿Ñ§¡ìªÑ¹¹Õé͸ԺÒ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ìÃÐËÇèÒ§ àÇÅÒ·Õè¡é͹ËÔ¹ãªéµ¡¶Ö§¾×鹡ѺªÑé¹·ÕèÁѹ¶Ù¡»ÅèÍÂŧÁÒ (´Ù ¤ÇÒÁàÃè§)
'¡®' ·Õè¹ÔÂÒÁ¿Ñ§¡ìªÑ¹ÍÒ¨à»ç¹ ÊÙµÃ, ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì (¤³ÔµÈÒʵÃì) ËÃ×Íà»ç¹á¤èµÒÃÒ§·ÕèÅӴѺ¼ÅÅѾ¸ì¡ÑºÊÔ觷Õè¹Óà¢éÒ ÅѡɳÐ੾ÒзÕèÊӤѢͧ¿Ñ§¡ìªÑ¹¤×ÍÁѹ¨ÐÁÕ¼ÅÅѾ¸ìàËÁ×͹à´ÔÁµÅÍ´àÁ×èÍãËéÊÔ觹Óà¢éÒàËÁ×͹à´ÔÁ ÅѡɳйÕé·ÓãËéàÃÒà»ÃÕºà·Õº¿Ñ§¡ìªÑ¹¡Ñº 'à¤Ã×èͧ¡Å' ËÃ×Í '¡Åèͧ´Ó' ·Õè¨Ðà»ÅÕè¹ÊÔ觹Óà¢éÒä»à»ç¹¼ÅÅѾ¸ì·ÕèµÒµÑÇ àÃÒÁÑ¡¨ÐàÃÕ¡ÊÔ觹Óà¢éÒÇèÒ ÍÒÃì¡ÔÇàÁ¹µì (argument) áÅÐàÃÕ¡¼ÅÅѾ¸ìÇèÒ ¤èÒ (value) ¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹
ª¹Ô´¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹¸ÃÃÁ´Òà¡Ô´¨Ò¡·Õè·Ñé§ÍÒÃì¡ÔÇàÁ¹µìáÅФèҢͧ¿Ñ§¡ìªÑ¹à»ç¹µÑÇàÅ¢·Ñ駤Ùè ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹ÁÑ¡¨Ðà¢Õ¹ã¹ÃÙ»Êٵà áÅШÐä´é¤èҢͧ¿Ñ§¡ìªÑ¹Áҷѹ·Õà¾Õ§᷹·ÕèÍÒÃì¡ÔÇàÁ¹µìŧã¹Êٵà àªè¹
- f(x) = x2
«Ö觨Ðä´é¤èÒ¡ÓÅѧÊͧ¢Í§ x ã´æ
â´Â¹Ñ·ÑèÇä»áÅéÇ ¿Ñ§¡ìªÑ¹¨ÐÊÒÁÒöÁÕä´éÁÒ¡¡ÇèÒ˹Öè§ÍÒÃì¡ÔÇàÁ¹µì àªè¹
- g(x,y) = xy
à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹·Õè¹ÓµÑÇàÅ¢ x áÅÐ y ÁÒËҼŤٳ ´ÙàËÁ×͹ÇèÒ¹ÕèäÁèãªè¿Ñ§¡ìªÑ¹¨ÃÔ§æ´Ñ§·ÕèàÃÒä´é͸ԺÒ¢éÒ§µé¹ à¾ÃÒÐÇèÒ '¡®' ¢Öé¹ÍÂÙè¡ÑºÊÔ觹Óà¢éÒ 2 ÊÔè§ ÍÂèÒ§äáçµÒÁ ¶éÒàÃÒ¤Ô´ÇèÒÊÔ觹Óà¢éÒ 2 ÊÔ觹Õéà»ç¹ ¤ÙèÍѹ´Ñº (x,y) 1 ¤Ùè àÃÒ¡ç¨ÐÊÒÁÒöá»Åä´éÇèÒ g à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹ â´Â·ÕèÍÒÃì¡ÔÇàÁ¹µì¤×ͤÙèÍѹ´Ñº (x,y) áÅФèҢͧ¿Ñ§¡ìªÑ¹¤×Í xy
ã¹ÇÔ·ÂÒÈÒʵÃì àÃÒÁÑ¡¨Ðµéͧ༪Ô˹éҡѺ¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÕèäÁèä´é¡Ó˹´¢Ö鹨ҡÊٵà àªè¹ÍسËÀÙÁÔº¹¾×é¹¼ÔÇâÅ¡ã¹àÇÅÒã´àÇÅÒ˹Öè§ ¹Õèà»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÕèÁÕʶҹ·ÕèáÅÐàÇÅÒà»ç¹ÍÒÃì¡ÔÇàÁ¹µì áÅÐãËé¼ÅÅѾ¸ìà»ç¹ÍسËÀÙÁԢͧʶҹ·ÕèáÅÐàÇÅÒ¹Ñé¹æ
àÃÒä´éàËç¹áÅéÇÇèÒá¹Ç¤Ô´¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹äÁèä´é¨Ó¡Ñ´ÍÂÙèá¤è¡Òäӹdz´éǵÑÇàÅ¢à·èÒ¹Ñé¹ áÅÐäÁèä´é¨Ó¡Ñ´ÍÂÙèá¤è¡Òäӹdz´éÇ á¹Ç¤Ô´¢Í§¤³ÔµÈÒʵÃìà¡ÕèÂǡѺ¿Ñ§¡ìªÑ¹ à»ç¹á¹Ç¤Ô´â´Â·ÑèÇä»áÅÐäÁèä´é¨Ó¡Ñ´ÍÂÙèá¤èʶҹ¡Òóì·Õèà¡ÕèÂÇ¢éͧ¡ÑºµÑÇàÅ¢à·èÒ¹Ñé¹ á¹è¹Í¹Çèҿѧ¡ìªÑ¹àª×èÍÁ⧠'â´àÁ¹' (૵¢Í§ÊÔ觹Óà¢éÒ) à¢éҡѺ 'â¤â´àÁ¹' (૵¢Í§¼ÅÅѾ¸ì·Õèà»ç¹ä»ä´é) ´Ñ§¹Ñé¹ÊÁÒªÔ¡áµèÅеÑǢͧâ´àÁ¹¨Ð¨Ñº¤Ùè¡ÑºÊÁÒªÔ¡µÑÇã´µÑÇ˹Ö觢ͧâ¤â´àÁ¹à·èÒ¹Ñé¹ ¿Ñ§¡ìªÑ¹¹Ñé¹¹ÔÂÒÁà»ç¹¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì·Õèá¹è¹Í¹ ´Ñ§·Õè¨Ð¡ÅèÒǵèÍä» à»ç¹à˵بҡÅѡɳзÑèÇ仹Õé á¹Ç¤Ô´ÃǺÂÍ´¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹¨Ö§à»ç¹¾×é¹°Ò¹¢Í§·Ø¡ÊÒ¢Ò㹤³ÔµÈÒʵÃì
»ÃÐÇѵÔ
ã¹·Ò§¤³ÔµÈÒʵÃì '¿Ñ§¡ìªÑ¹' ºÑѵԢÖé¹â´Â äźì¹Ô« ã¹ ¾.È. 2237 à¾×èÍ͸ԺÒ»ÃÔÁÒ³·Õèà¡ÕèÂÇ¢éͧ¡ÑºàÊé¹â¤é§ àªè¹ ¤ÇÒÁªÑ¹¢Í§àÊé¹â¤é§ ËÃ×ͨشº¹àÊé¹â¤é§ ¿Ñ§¡ìªÑ¹·Õèäźì¹Ô«¾Ô¨ÒóҹÑé¹ã¹»Ñ¨¨ØºÑ¹àÃÕ¡ÇèÒ ¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÕèËÒ͹ؾѹ¸ìä´é áÅÐà»ç¹ª¹Ô´¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÕèÁÑ¡¨Ðá¡é´éǼÙé·ÕèäÁèãªè¹Ñ¡¤³ÔµÈÒʵÃì ÊÓËÃѺ¿Ñ§¡ìªÑ¹ª¹Ô´¹Õé àÃÒÊÒÁÒö¾Ù´¶Ö§ÅÔÁÔµáÅÐ͹ؾѹ¸ì «Öè§à»ç¹¡Ò÷ÄÉ®Õ૵ ¾Ç¡à¢Òä´é¾ÂÒÂÒÁ¹ÔÂÒÁÇѵ¶Ø·Ò§¤³ÔµÈÒʵÃì·Ñé§ËÁ´´éÇ ૵ ´ÕÃÔ¤àÅ· áÅÐ âźÒàª¿Ê¡Õ ä´éãËé¹ÔÂÒÁÊÁÑÂãËÁè¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹ÍÍ¡ÁÒà¡×ͺ¾ÃéÍÁæ¡Ñ¹
㹤ӹÔÂÒÁ¹Õé ¿Ñ§¡ìªÑ¹à»ç¹à¾Õ§¡Ã³Õ¾ÔàÈɢͧ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì ÍÂèÒ§äáçµÒÁ à»ç¹¡Ã³Õ·ÕèÁÕ¤ÇÒÁ¹èÒʹã¨à»ç¹¾ÔàÈÉ ¤ÇÒÁᵡµèÒ§ÃÐËÇèÒ§¤Ó¹ÔÂÒÁÊÁÑÂãËÁè¡Ñº¤Ó¹ÔÂÒÁ¢Í§ÍÍÂàÅÍÃì¹Ñé¹àÅ硹éÍÂÁÒ¡
á¹Ç¤Ô´¢Í§ ¿Ñ§¡ìªÑ¹ ·Õèà»ç¹¡®ã¹¡Òäӹdz á·¹·Õèà»ç¹¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ìª¹Ô´¾ÔàÈɹÑé¹ ÍÂÙè㹤³ÔµµÃáÈÒʵÃì áÅÐÇÔ·ÂÒ¡ÒäÍÁ¾ÔÇàµÍÃìàªÔ§·ÄÉ®Õ ´éÇÂËÅÒÂÃкº ÃÇÁ件֧ á¤Å¤ÙÅÑÊáÅÁºì´Ò ·Äɮտѧ¡ìªÑ¹àÇÕ¹à¡Ô´ áÅÐà¤Ã×èͧ¨Ñ¡Ã·ÑÇÃÔ§
¹ÔÂÒÁÍÂèÒ§à»ç¹·Ò§¡ÒÃ
¿Ñ§¡ìªÑ¹ f ¨Ò¡¢éÍÁÙŹÓà¢éÒã¹à«µ X ä»Âѧ¼Å·Õèà»ç¹ä»ä´éã¹à«µ Y (à¢Õ¹à»ç¹ ) ¤×ͤÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì ÃÐËÇèÒ§ X ¡Ñº Y «Öè§
- ÊÓËÃѺ·Ø¡¤èÒ x ã¹ X ¨ÐÁÕ y ã¹ Y «Öè§ x f y (x ÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì f ¡Ñº y) ¹Ñ蹤×Í ÊÓËÃѺ¤èÒ¹Óà¢éÒáµèÅФèÒ ¨ÐÁÕ¼ÅÅѾ¸ìã¹ Y ÍÂèÒ§¹éÍ 1 ¼ÅÅѾ¸ìàÊÁÍ
- ¶éÒ x f y áÅÐ x f z áÅéÇ y = z ¹Ñ蹤×Í ¤èÒ¹Óà¢éÒËÅÒ¤èÒÊÒÁÒöÁÕ¼ÅÅѾ¸ìä´é¤èÒà´ÕÂÇ áµè¤èÒ¹Óà¢éÒ¤èÒà´ÕÂÇäÁèÊÒÁÒöÁÕ¼ÅÅѾ¸ìËÅÒ¼ÅÅѾ¸ìä´é
¤èÒ¹Óà¢éÒ x áµèÅФèÒ ¨Ò¡â´àÁ¹ ¨ÐÁÕ¼ÅÅѾ¸ì y ¨Ò¡â¤â´àÁ¹à¾Õ§¤èÒà´ÕÂÇ á·¹´éÇ f (x)
¨Ò¡¹ÔÂÒÁ¢éÒ§µé¹ àÃÒÊÒÁÒöà¢Õ¹ÍÂèÒ§ÊÑé¹æä´éÇèÒ ¿Ñ§¡ìªÑ¹¨Ò¡ X ä»Âѧ Y ¤×Í૵ÂèÍ f ¢Í§¼Å¤Ù³¤ÒÃì·Õà«Õ¹ â´Â·ÕèáµèÅФèҢͧ x ã¹ X ¨ÐÁÕ y ã¹ Y ·ÕèᵡµèÒ§¡Ñ¹ â´Â·Õè¤ÙèÍѹ´Ñº (x, y) ÍÂÙèã¹ f
૵¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹ ·Ø¡¿Ñ§¡ìªÑ¹á·¹´éÇ YX ÊѧࡵÇèÒ |YX|ÿ=ÿ|Y||X| (ÍéÒ§¶Ö§ ¨Ó¹Ç¹àªÔ§¡ÒùѺ)
¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ìÃÐËÇèÒ§ X ¡Ñº Y «Öè§à»ç¹ä»µÒÁà§×èÍ¹ä¢ (1) ¹Ñ蹤×Ϳѧ¡ìªÑ¹ËÅÒ¤èÒ ¿Ñ§¡ìªÑ¹·Ø¡¿Ñ§¡ìªÑ¹à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹ËÅÒ¤èÒ áµè¿Ñ§¡ìªÑ¹ËÅÒ¤èÒäÁè·Ø¡¿Ñ§¡ìªÑ¹à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹ ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ìÃÐËÇèÒ§ X ¡Ñº Y «Öè§à»ç¹ä»µÒÁà§×èÍ¹ä¢ (2) ¹Ñ蹤×Ϳѧ¡ìªÑ¹ºÒ§Êèǹ ¿Ñ§¡ìªÑ¹·Ø¡¿Ñ§¡ìªÑ¹à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹ºÒ§Êèǹ áµè¿Ñ§¡ìªÑ¹ºÒ§ÊèǹäÁè·Ø¡¿Ñ§¡ìªÑ¹à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹ '¿Ñ§¡ìªÑ¹' ¤×ͤÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì·Õèà»ç¹ä»µÒÁà§×è͹䢷Ñé§Êͧà§×è͹ä¢
´ÙµÑÇÍÂèÒ§µèÍ仹Õé
ÊÁÒªÔ¡ 3 ã¹ X ÊÑÁ¾Ñ¹¸ì¡Ñº b áÅÐ c ã¹ Y ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì¹Õéà»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹ËÅÒ¤èÒ áµèäÁèà»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹
ÊÁÒªÔ¡ 1 ã¹ X äÁèÊÑÁ¾Ñ¹¸ì¡ÑºÊÁÒªÔ¡ã´æàÅÂã¹ Y ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì¹Õéà»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹ºÒ§Êèǹ áµèäÁèà»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹
¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì¹Õéà»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹¨Ò¡ X ä»Âѧ Y àÃÒÊÒÁÒöËÒ¹ÔÂÒÁ¿Ñ§¡ìªÑ¹¹ÕéÍÂèÒ§ªÑ´á¨é§ä´éà»ç¹ f={ (1,d) , (2,d) , (3,c) }
â´àÁ¹, â¤â´àÁ¹ áÅÐàù¨ì
X «Ö觤×Í૵¢éÍÁÙŹÓà¢éÒàÃÕ¡ÇèÒ â´àÁ¹¢Í§ f áÅÐ Y «Ö觤×Í૵¢Í§¼ÅÅѾ¸ì·Õèà»ç¹ä»ä´é àÃÕ¡ÇèÒ â¤â´àÁ¹ àù¨ì¢Í§ f ¤×Í૵¢Í§¼ÅÅѾ¸ì¨ÃÔ§æ {f (x)ÿ: x ã¹â´àÁ¹} ÃÐÇѧÇèÒºÒ§¤ÃÑé§â¤â´àÁ¹¨Ð¶Ù¡àÃÕ¡ÇèÒàù¨ì à¹×èͧ¨Ò¡¤ÇÒÁ¼Ô´¾ÅÒ´¨Ò¡¡ÒèÓṡÃÐËÇèÒ§¼Å·Õèà»ç¹ä»ä´é¡Ñº¼Å¨ÃÔ§æ
¿Ñ§¡ìªÑ¹¹Ñé¹àÃÕ¡ª×è͵ÒÁàù¨ì¢Í§Áѹ àªè¹ ¿Ñ§¡ìªÑ¹¨Ó¹Ç¹¨ÃÔ§ ËÃ×Í ¿Ñ§¡ìªÑ¹¨Ó¹Ç¹àªÔ§«é͹
à͹ⴿѧ¡ìªÑ¹ ¤×Ϳѧ¡ìªÑ¹·Õèâ´àÁ¹áÅÐàù¨ìà»ç¹à«µà´ÕÂǡѹ
ã¹ÊÒ¢ÒÇÔ·ÂÒ¡ÒäÍÁ¾ÔÇàµÍÃì Ẻª¹Ô´¢éÍÁÙŢͧÍÒÃì¡ÔÇàÁ¹µìáÅФèÒ·Õè¤×¹¡ÅѺÁÒÃкØâ´àÁ¹áÅÐâ¤â´àÁ¹ (µÒÁÅӴѺ) ¢Í§â»Ãá¡ÃÁÂèÍ ´Ñ§¹Ñé¹â´àÁ¹áÅÐâ¤â´àÁ¹¨Ð¶Ù¡¡Ó˹´äÇéã¹áµèÅпѧ¡ìªÑ¹ áµèàù¨ì¨Ðà¡ÕèÂǡѺÇèÒ¤èÒ·Õè¤×¹¡ÅѺÁÒ¨Ðà»ç¹ÍÂèÒ§äÃ
¿Ñ§¡ìªÑ¹Ë¹Ö觵èÍ˹Öè§ ¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÑèǶ֧ áÅпѧ¡ìªÑ¹Ë¹Ö觵èÍ˹Ö觷ÑèǶ֧
àÃÒÊÒÁÒöáºè§¿Ñ§¡ìªÑ¹µÒÁÅѡɳФÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ìä´é´Ñ§¹Õé
- ¿Ñ§¡ìªÑ¹Ë¹Ö觵èÍ˹Öè§ (1-1) ¿Ñ§¡ìªÑ¹¨Ð¤×¹¤èÒ·ÕèäÁèàËÁ×͹¡Ñ¹ËÒ¡¹Óà¢éÒ¤èÒ¤¹ÅФèҡѹ ¡ÅèÒǤ×Í ¶éÒ x1 áÅÐ x2 à»ç¹ÊÁÒªÔ¡¢Í§â´àÁ¹¢Í§ f áÅéÇ f (x1) = f (x2) ¡çµèÍàÁ×èÍ x1 = x2
- ¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÑèǶ֧ (Ẻ onto) ¿Ñ§¡ìªÑ¹¨ÐÁÕàù¨ìà·èҡѺâ¤â´àÁ¹ ¡ÅèÒǤ×Í ¶éÒ y à»ç¹ÊÁÒªÔ¡ã´æ¢Í§â¤â´àÁ¹¢Í§ f áÅéǨÐÁÕ x ÍÂèÒ§¹éÍ 1 µÑÇ «Öè§ f (x) = y
- ¿Ñ§¡ìªÑ¹Ë¹Ö觵èÍ˹Ö觷ÑèǶ֧ à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹·Õèà»ç¹·Ñ駿ѧ¡ìªÑ¹Ë¹Ö觵èÍ˹Öè§ áÅпѧ¡ìªÑ¹·ÑèǶ֧ ÁÑ¡¨ÐãªéáÊ´§ÇèÒ૵ X áÅÐ૵ Y ÁÕ¢¹Ò´à·èҡѹ
ÀÒ¾ áÅкؾÀÒ¾
ÀÒ¾ (image) ¢Í§ÊÁÒªÔ¡ x ∈ X ÀÒÂãµé f ¤×ͼÅÅѾ¸ì f (x)
ÀÒ¾¢Í§à«µÂèÍ A⊂X ÀÒÂãµé f ¤×Í૵ÂèÍ Y «Öè§ÁÕ¹ÔÂÒÁ´Ñ§¹Õé
- f[A]ÿ=ÿ{f (x) ÿ|ÿxÿÍÂÙèã¹ÿA}
ºÒ§¤ÃÑé§ ÍÒ¨ãªé f (A) á·¹ f[A]
ÊѧࡵÇèÒàù¨ì¢Í§ f ¤×ÍÀÒ¾ f (X) ¢Í§â´àÁ¹¢Í§Áѹ. 㹿ѧ¡ìªÑ¹¢éÒ§º¹ ÀÒ¾¢Í§ {2, 3} ÀÒÂãµé f ¤×Í f ({2, 3}) = {c, d} áÅÐàù¨ì¢Í§ f ¤×Í {c, d}
ºØ¾ÀÒ¾ (preimage) (ËÃ×Í ÀÒ¾¼¡¼Ñ¹) ¢Í§à«µ B ⊂ Y ÀÒÂãµé f ¤×Í૵ÂèÍ¢ͧ X «Öè§ÁÕ¹ÔÂÒÁ¤×Í
- fÿ−1 (B) ÿ= {x ÍÂÙèã¹ X | f (x) ∈B}
ÊÓËÃѺ¿Ñ§¡ìªÑ¹¢éÒ§º¹ ºØ¾ÀÒ¾¢Í§ {a, b} ¤×Í fÿ−1 ({a, b}) = {1}
¡ÃÒ¿¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹
¡ÃÒ¿¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹ f ¤×Í૵¢Í§¤ÙèÍѹ´Ñº (x, f (x)) ·Ñé§ËÁ´ ÊÓËÃѺ¤èÒ x ·Ñé§ËÁ´ã¹â´àÁ¹ X ÁÕ·Äɮպ··ÕèáÊ´§ËÃ×;ÔÊÙ¨¹ì§èÒÂÁÒ¡àÁ×èÍãªé¡ÃÒ¿ àªè¹ ·Äɮպ·¡ÃÒ¿»Ô´ ¶éÒ X áÅÐ Y à»ç¹àÊ鹨ӹǹ¨ÃÔ§ áÅéǹÔÂÒÁ¹Õé¨ÐÊÍ´¤Åéͧ¡Ñºá¹Ç¤Ô´¢Í§¡ÃÒ¿
ÊѧࡵÇèÒàÁ×èͤÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ìÃÐËÇèÒ§Êͧ૵ X áÅÐ Y ÁÑ¡¨ÐáÊ´§´éÇÂ૵ÂèÍ¢ͧ X×Y ¹ÔÂÒÁÍÂèÒ§à»ç¹·Ò§¡Òâͧ¿Ñ§¡ìªÑ¹¹Ñé¹Ãкؿѧ¡ìªÑ¹ f ´éÇ¡ÃÒ¿¢Í§Áѹ
µÑÇÍÂèÒ§¿Ñ§¡ìªÑ¹
- ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì wght ÃÐËÇèÒ§ºØ¤¤Å¡Ñº¹éÓ˹ѡã¹àÇÅÒã´àÇÅÒ˹Öè§
- ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì cap ÃÐËÇèÒ§»ÃÐà·È¡ÑºàÁ×ͧËÅǧ¢Í§»ÃÐà·È¹Ñé¹
- ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì sqr ÃÐËÇèÒ§¨Ó¹Ç¹¸ÃÃÁªÒµÔ n ¡Ñº¡ÓÅѧÊͧ n2
- ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì ln ÃÐËÇèÒ§¨Ó¹Ç¹¨ÃÔ§ºÇ¡ x ¡ÑºÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ°Ò¹¸ÃÃÁªÒµÔ ln (x) áµè¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ìÃÐËÇèÒ§¨Ó¹Ç¹¨ÃÔ§¡ÑºÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ°Ò¹¸ÃÃÁªÒµÔ¹Ñé¹äÁèà»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹ à¾ÃÒÐÇèҨӹǹ¨ÃÔ§·Ø¡¨Ó¹Ç¹äÁèä´éÁÕÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ°Ò¹¸ÃÃÁªÒµÔ ¹Ñ蹤×Íà»ç¹¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ìäÁè·Ñé§ËÁ´
- ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì dist ÃÐËÇèÒ§¨Ø´º¹ÃйҺ R2 ¡ÑºÃÐÂзҧ¨Ò¡¨Ø´¡Óà¹Ô´ (0,0)
ª¹Ô´¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹·Ò§¤³ÔµÈÒʵÃì·ÕèÁÑ¡ãªé¡Ñ¹àªè¹ ¡Òúǡ ¡ÒÃź ¡Òäٳ ¡ÒÃËÒà ¾ËعÒÁ àŢ¡¡ÓÅѧ ÅÍ¡ÒÃÔ·ÖÁ ÃÒ¡ ÍѵÃÒÊèǹ áÅеÃÕ⡳ÁÔµÔ ¿Ñ§¡ìªÑ¹àËÅèÒ¹ÕéÁÑ¡àÃÕ¡ÇèÒ ¿Ñ§¡ìªÑ¹¾×é¹°Ò¹ áµè¤Ó¹Õé¨ÐÁÕ¤ÇÒÁËÁÒµèÒ§Í͡仵ÒÁÊҢҢͧ¤³ÔµÈÒʵÃì µÑÇÍÂèÒ§¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÕèäÁèà»ç¹¾×é¹°Ò¹ (¿Ñ§¡ìªÑ¹¾ÔàÈÉ) àªè¹ ¿Ñ§¡ìªÑ¹àºÊà«ÔÅ áÅпѧ¡ìªÑ¹á¡ÁÁÒ
¤Ø³ÊÁºÑµÔ¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹
¿Ñ§¡ìªÑ¹ÍÒ¨à»ç¹
- ¿Ñ§¡ìªÑ¹¤ÙèËÃ×ͤÕè
- ¿Ñ§¡ìªÑ¹µèÍà¹×èͧËÃ×ÍäÁèµèÍà¹×èͧ
- ¿Ñ§¡ìªÑ¹¨Ó¹Ç¹¨ÃÔ§ ËÃ×Í ¿Ñ§¡ìªÑ¹àªÔ§«é͹
- ¿Ñ§¡ìªÑ¹Êà¡ÅÒÃì ËÃ×Í ¿Ñ§¡ìªÑ¹àÇ¡àµÍÃì
¿Ñ§¡ìªÑ¹áºº n-aryÿ: ¿Ñ§¡ìªÑ¹ËÅÒµÑÇá»Ã
¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÕèàÃÒãªéÊèǹÁÑ¡¨Ðà»ç¹ ¿Ñ§¡ìªÑ¹ËÅÒµÑÇá»Ã ¤èÒ·Õèä´é¨Ð¢Öé¹ÍÂÙè¡Ñº»Ñ¨¨ÑµèÒ§æ¡Ñ¹ ¨Ò¡ÁØÁÁͧ¢Í§¤³ÔµÈÒʵÃì µÑÇá»Ã·Ñé§ËÁ´µéͧáÊ´§ÍÂèÒ§ªÑ´á¨é§à¾×èÍ·Õè¨Ðà¡Ô´¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ìẺ¿Ñ§¡ìªÑ¹ - äÁèÁջѨ¨Ñ '«è͹àÃé¹' ÍÂÙè áÅÐàªè¹¡Ñ¹ ¨Ò¡ÁØÁÁͧ¢Í§¤³ÔµÈÒʵÃì äÁèÁÕ¤ÇÒÁᵡµèÒ§àªÔ§¤Ø³ÀÒ¾ÃÐËÇèÒ§¿Ñ§¡ìªÑ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂǡѺ¿Ñ§¡ìªÑ¹ËÅÒµÑÇá»Ã ¿Ñ§¡ìªÑ¹ÊÒÁµÑÇá»Ã¨Ó¹Ç¹¨ÃÔ§¹Ñ鹡ç¤×Ϳѧ¡ìªÑ¹¢Í§ triple ((x,y,z)) ¢Í§¨Ó¹Ç¹¨ÃÔ§
¶éÒâ´àÁ¹¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹Ë¹Öè§à»ç¹à«µÂèÍ¢ͧ ¼Å¤Ù³¤ÒÃì·Õà«Õ¹ ¢Í§ n ૵ áÅéÇ àÃÒàÃÕ¡¿Ñ§¡ìªÑ¹¹ÕéÇèÒ ¿Ñ§¡ìªÑ¹ n-ary µÑÇÍÂèÒ§àªè¹¿Ñ§¡ìªÑ¹ dist ÁÕâ´àÁ¹ ¨Ö§à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÇÔÀÒ¤ 㹡óչÕé dist ((x,y)) à¢Õ¹ÍÂèÒ§§èÒÂà»ç¹ dist (x,y)
¡ÒôÓà¹Ô¹¡Òà ¡çà»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹ËÅÒµÑÇá»Ãª¹Ô´Ë¹Öè§ ã¹¾Õª¤³Ôµ¹ÒÁ¸ÃÃÁ µÑÇ´Óà¹Ô¹¡ÒÃàªè¹ '*' ¹Ñé¹¹ÔÂÒÁ¨Ò¡¿Ñ§¡ìªÑ¹·ÇÔÀÒ¤ àÁ×èÍàÃÒà¢Õ¹ÊÙµÃàªè¹ x*y ã¹ÊÒ¢Ò¹Õé àÊÁ×͹¡ÑºÇèÒàÃÒàÃÕ¡ãªé¿Ñ§¡ìªÑ¹ * (x,y) â´Â»ÃÔÂÒ à¾Õ§áµèà¢Õ¹ã¹ÃÙ»ÊѡóìàµÔÁ¡ÅÒ§ (infix notation) «Öè§Êдǡ¡ÇèÒ
µÑÇÍÂèÒ§·ÕèÊӤѷҧ·ÄɮյÑÇÍÂèҧ˹Ö觤×Í ¡Ó˹´¡ÒÃàªÔ§¿Ñ§¡ìªÑ¹ «Öè§ãªéá¹Ç¤Ô´¢Í§¿Ñ§¡ìªÑ¹à»ç¹ÈÙ¹Âì¡ÅÒ§ ´éÇÂÇÔ¸Õ¹Õé ¡ÒèѴ¡Òÿѧ¡ìªÑ¹ËÅÒµÑÇá»Ã·Óä´éàËÁ×͹à»ç¹¡ÒôÓà¹Ô¹¡Òà «Öè§á¤Å¤ÙÅÑÊáÅÁºì´Ò ÁÕÇÒ¡ÂÊÑÁ¾Ñ¹¸ì (syntax) ãËéàÃÒ
¡ÒûÃСͺ¿Ñ§¡ìªÑ¹
¿Ñ§¡ìªÑ¹ f: Xye → Y áÅÐ g:Y → Z ÊÒÁÒö»ÃСͺ¡Ñ¹ä´é «Ö觨Ðä´é¼Åà»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹»ÃСͺ g o f: X → Z «Öè§ÁÕ¹ÔÂÒÁ¤×Í (g o f) (x) = g (f (x)) ÊÓËÃѺ·Ø¡¤èҢͧ x ã¹ X µÑÇÍÂèÒ§àªè¹ ÊÁÁµÔÇèÒ¤ÇÒÁÊÙ§¢Í§à¤Ã×èͧºÔ¹·ÕèàÇÅÒ t à»ç¹ä»µÒÁ¿Ñ§¡ìªÑ¹ h (t) áÅФÇÒÁà¢éÁ¢é¹¢Í§ÍÍ¡«Ôਹã¹ÍÒ¡ÒÈ·Õè¤ÇÒÁÊÙ§ x à»ç¹ä»µÒÁ¿Ñ§¡ìªÑ¹ c (x) ´Ñ§¹Õé¹ (c o h) (t) ¨ÐºÍ¡¤ÇÒÁà¢éÁ¢é¹¢Í§ÍÍ¡«Ôਹã¹ÍÒ¡ÒÈÃͺæà¤Ã×èͧºÔ¹·ÕèàÇÅÒ t
ÿ¿Ñ§¡ìªÑ¹¼¡¼Ñ¹
¶éҿѧ¡ìªÑ¹ f: X → Y à»ç¹¿Ñ§¡ìªÑ¹Ë¹Ö觵èÍ˹Ö觵èÍà¹×èͧ áÅéÇ ¾ÃÕÍÔàÁ¨¢Í§ÊÁÒªÔ¡ y ã´æã¹â¤â´àÁ¹ Y ¨Ðà»ç¹à«µâ·¹ ¿Ñ§¡ìªÑ¹¨Ò¡ y ∈ Y ä»Âѧ¾ÃÕÍÔàÁ¨ f −1 (y) ¢Í§Áѹ ¤×Ϳѧ¡ìªÑ¹·ÕèàÃÕ¡ÇèÒ ¿Ñ§¡ìªÑ¹¼¡¼Ñ¹ ¢Í§ f à¢Õ¹᷹´éÇ f −1
µÑÇÍÂèҧ˹Ö觢ͧ¿Ñ§¡ìªÑ¹¼¡¼Ñ¹ÊÓËÃѺ f (x) = 2x ¤×Í f −1 (x) = x/2 ¿Ñ§¡ìªÑ¹¼¡¼Ñ¹¤×Ϳѧ¡ìªÑ¹·ÕèÂé͹¡ÒáÃзӢͧ¿Ñ§¡ìªÑ¹µé¹áºº¢Í§Áѹ ´Ù ÍÔàÁ¨¼¡¼Ñ¹
ºÒ§¤ÃÑ駿ѧ¡ìªÑ¹¼¡¼Ñ¹¡çËÒÂÒ¡ËÃ×ÍäÁèÁÕ ¾Ô¨ÒÃ³Ò f(x) = x2 ¿Ñ§¡ìªÑ¹ äÁèãªè¿Ñ§¡ìªÑ¹¼¡¼Ñ¹àÁ×èÍâ´àÁ¹¢Í§ f ¤×Í
